ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Уравнение определено при всех $x$. Так как $x^2=|x{|}^2$, выражение $9x^2-18|x|+9$ — полный квадрат:

$$9x^2-18|x|+9=9(|x{|}^2-2|x|+1)=9(|x|-1{)}^2.$$

Поэтому уравнение равносильно $a^2-9(|x|-1{)}^2=0$. Разложим разность квадратов:

$$(a-3(|x|-1))(a+3(|x|-1))=0\iff [\begin{array}{l}a=3|x|-3,\\ a=3-3|x|.\end{array}$$

Изобразим множество решений на плоскости $(x;a)$. График $a=3|x|-3$ — «галочка» с вершиной $(0;-3)$, проходящая через точки $(\pm 1;0)$. График $a=3-3|x|$ — перевёрнутая «галочка» с вершиной $(0;3)$, проходящая через те же точки. Общие точки графиков: $3|x|-3=3-3|x|$, $|x|=1$, то есть $(\pm 1;0)$.

При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с этим множеством. Разные точки одной горизонтальной прямой имеют разные абсциссы, поэтому число корней равно числу общих точек.

Посчитаем точки аналитически. На прямой $a=c$ первый график даёт $|x|=1+\frac{c}{3}$: две точки при $c>-3$, одну ($x=0$) при $c=-3$, ни одной при $c<-3$. Второй график даёт $|x|=1-\frac{c}{3}$: две точки при $c<3$, одну ($x=0$) при $c=3$, ни одной при $c>3$. Значения $|x|$ из двух графиков совпадают только при $1+\frac{c}{3}=1-\frac{c}{3}$, то есть при $c=0$.

Число корней меняется в граничных положениях $a=3$, $a=0$ и $a=-3$. На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, граничные прямые $a=\pm 3$ показаны пунктиром, прямая $a=0$ — это ось абсцисс.

Пройдём по оси $a$ снизу вверх.

При $a<-3$ общие точки есть только со вторым графиком — два корня.

При $a=-3$: одна точка первого графика ($x=0$) и две точки второго ($x=\pm 2$) — три корня.

При $-3<a<0$ и при $0<a<3$: по две точки на каждом графике, все четыре различны — четыре корня.

При $a=0$ оба графика дают $|x|=1$, то есть одни и те же точки $x=\pm 1$ — два корня.

При $a=3$: две точки первого графика ($x=\pm 2$) и одна точка второго ($x=0$) — три корня.

При $a>3$ общие точки есть только с первым графиком — два корня.

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup \{0\}\cup (3;+\infty )$.