ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

При $a=0$ уравнение принимает вид $\cos 0=0,4$, то есть $1=0,4$, — корней нет. Значение $a=0$ не подходит.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos ax=\cos (|a|x)$. Значит, при $a$ и при $-a$ получается одно и то же уравнение с одними и теми же корнями. Найдём подходящие $a>0$, а отрицательные значения получим симметрией.

Пусть $a>0$. Обозначим $\alpha =\arccos 0,4$. По условию $1,1<\alpha <1,2$, в частности $0<\alpha <\pi$.

Сделаем замену $t=ax$. Так как $a>0$, разным $x$ отвечают разные $t$, а условие $-\pi ⩽x⩽4\pi$ равносильно $-a\pi ⩽t⩽4a\pi$. Значит, нужно, чтобы на отрезке $[-a\pi ;4a\pi ]$ лежало ровно десять корней уравнения $\cos t=0,4$.

Корни этого уравнения: $t=\pm \alpha +2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Выпишем положительные корни по возрастанию. Порядок именно такой, потому что $0<\alpha <\pi$, то есть $\alpha <2\pi -\alpha$:

$$\alpha <2\pi -\alpha <2\pi +\alpha <4\pi -\alpha <4\pi +\alpha <6\pi -\alpha <6\pi +\alpha <8\pi -\alpha <8\pi +\alpha <\dots$$

Число $t=0$ корнем не является, так как $\cos 0=1$. Корни расположены симметрично относительно нуля: если $t_0$ — корень, то и $-t_0$ — корень. Поэтому на отрезке $[-a\pi ;0]$ корней столько же, сколько на $[0;a\pi ]$.

Обозначим через $N(L)$ число корней на промежутке $(0;L]$. Тогда общее число корней на $[-a\pi ;4a\pi ]$ равно $N(a\pi )+N(4a\pi )$. По списку корней: $N(L)⩽1$ при $L<2\pi -\alpha$; $N(L)=2$ при $2\pi -\alpha ⩽L<2\pi +\alpha$; $N(L)⩾3$ при $L⩾2\pi +\alpha$; $N(L)⩽7$ при $L<8\pi -\alpha$; $N(L)=8$ при $8\pi -\alpha ⩽L<8\pi +\alpha$; $N(L)⩾9$ при $L⩾8\pi +\alpha$.

Случай 1: $a\pi <2\pi -\alpha$. Тогда $N(a\pi )⩽1$. Кроме того, $4a\pi <8\pi -4\alpha <8\pi -\alpha$, поэтому $N(4a\pi )⩽7$. Всего корней не больше $8$ — мало.

Случай 2: $a\pi ⩾2\pi +\alpha$. Тогда $N(a\pi )⩾3$. Кроме того, $4a\pi ⩾8\pi +4\alpha >8\pi +\alpha$, поэтому $N(4a\pi )⩾9$. Всего корней не меньше $12$ — много.

Случай 3: $2\pi -\alpha ⩽a\pi <2\pi +\alpha$. Тогда $N(a\pi )=2$, и нужно $N(4a\pi )=8$:

$$8\pi -\alpha ⩽4a\pi <8\pi +\alpha \iff 2-\frac{\alpha }{4\pi }⩽a<2+\frac{\alpha }{4\pi }.$$

Этот промежуток целиком лежит внутри условия случая 3: из него следует $2\pi -\frac{\alpha }{4}⩽a\pi <2\pi +\frac{\alpha }{4}$, а $\frac{\alpha }{4}<\alpha$. Значит, все такие $a$ подходят.

Обоснуем концы. При $4a\pi =8\pi -\alpha$ корень $8\pi -\alpha$ попадает на правый конец отрезка, а конец $x=4\pi$ включён. Получается ровно десять корней, левая граница входит в ответ. При $4a\pi =8\pi +\alpha$ на отрезок попадает ещё и корень $8\pi +\alpha$. Корней становится одиннадцать, правая граница не входит.

Пусть $a<0$. Уравнение совпадает с уравнением для $|a|=-a$, поэтому условие то же, но для $-a$:

$$2-\frac{\alpha }{4\pi }⩽-a<2+\frac{\alpha }{4\pi }\iff -2-\frac{\alpha }{4\pi }<a⩽-2+\frac{\alpha }{4\pi }.$$

Объединим оба промежутка. На рисунке $c=\frac{\arccos 0,4}{4\pi }$.

Ответ: $a\in \left(-2-\frac{\arccos 0,4}{4\pi };-2+\frac{\arccos 0,4}{4\pi }\right]\cup \left[2-\frac{\arccos 0,4}{4\pi };2+\frac{\arccos 0,4}{4\pi }\right)$.