ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений: $x\ne 0$. Сделаем замену $y=x+\frac{4}{x}$. Получим уравнение

$$a{y}^2+2y-49a+14=0.(\ast )$$

Сколько решений $x$ даёт одно значение $y$. Уравнение $x+\frac{4}{x}=y$ умножим на $x\ne 0$:

$$x^2-yx+4=0.$$

Число $x=0$ корнем этого уравнения не является ($0-0+4\ne 0$), поэтому условие $x\ne 0$ выполняется само. Дискриминант $D_x=y^2-16$. Значит, при $|y|>4$ получаем два различных решения $x$, при $|y|=4$ — одно ($x=2$ при $y=4$ и $x=-2$ при $y=-4$), при $|y|<4$ — ни одного.

Каждому $x$ соответствует только одно значение $y=x+\frac{4}{x}$, поэтому разные корни $y$ дают разные решения $x$. Значит, число решений исходного уравнения равно сумме чисел решений $x$ по всем корням уравнения $(\ast )$.

Случай $a=0$. Уравнение $(\ast )$ становится линейным: $2y+14=0$, $y=-7$. Так как $|-7|>4$, получаем ровно два решения $x$. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение $(\ast )$ квадратное. Найдём дискриминант:

$$D=2^2-4a(14-49a)=196a^2-56a+4=(14a{)}^2-2\cdot 14a\cdot 2+2^2=(14a-2{)}^2.$$

Корни:

$$y_1=\frac{-2+(14a-2)}{2a}=\frac{7a-2}{a},y_2=\frac{-2-(14a-2)}{2a}=-7.$$

Корень $y_2=-7$ есть при любом $a\ne 0$, и он всегда даёт два решения: уравнение $x^2+7x+4=0$ имеет дискриминант $49-16=33>0$. Чтобы решений было ровно два, корень $y_1$ не должен добавлять новых решений. Это возможно в двух случаях: $y_1$ совпадает с $y_2$ или $|y_1|<4$. Если $|y_1|=4$, добавится одно решение (всего три). Если $|y_1|>4$ и $y_1\ne -7$, добавятся два (всего четыре).

Корни совпадают. $\frac{7a-2}{a}=-7$, то есть $7a-2=-7a$, $a=\frac{1}{7}$. Это ровно тот случай, когда $D=0$. Тогда единственный корень $y=-7$ даёт два решения. Значение $a=\frac{1}{7}$ подходит.

Условие $|y_1|<4$. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому его можно заменить неравенством для квадратов и разложить разность квадратов:

$$\left|\frac{7a-2}{a}\right|<4\iff \left(\frac{7a-2}{a}-4\right)\left(\frac{7a-2}{a}+4\right)<0\iff \frac{(3a-2)(11a-2)}{a^2}<0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $a=\frac{2}{11}$ и $a=\frac{2}{3}$, точка $a=0$ выколота. Знаменатель $a^2$ положителен при $a\ne 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком произведения $(3a-2)(11a-2)$.

Получаем $a\in \left(\frac{2}{11};\frac{2}{3}\right)$. Граничные значения не подходят: при $a=\frac{2}{11}$ корень $y_1=7-11=-4$ добавляет решение $x=-2$, а при $a=\frac{2}{3}$ корень $y_1=7-3=4$ добавляет решение $x=2$. В обоих случаях решений три.

Значение $a=\frac{1}{7}$ в этот промежуток не входит, так как $\frac{1}{7}<\frac{2}{11}$ ($11<14$). Объединим все найденные значения.

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{1}{7}\right\}\cup \left(\frac{2}{11};\frac{2}{3}\right)$.