Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение √(x⁴-9x²+a²)=x²+3x-a имеет ровно… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Иррациональные уравнения с параметром средняя 2022 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$x^{4} - 9 x^{2} + a^{2} = x^{2} + 3 x - a$

имеет ровно 3 различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $f = g$ равносильно системе $f = g^{2}$ , $g ⩾ 0$ . Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной. При $g ⩾ 0$ обе части можно возвести в квадрат, и корни не теряются и не появляются. Условие $f ⩾ 0$ отдельно писать не нужно: из $f = g^{2}$ оно следует само.

$x^{4} - 9 x^{2} + a^{2} = x^{2} + 3 x - a \Leftrightarrow {x^{4} - 9 x^{2} + a^{2} = (x^{2} + 3 x - a)^{2}, x^{2} + 3 x - a ⩾ 0.$

Раскроем квадрат трёхчлена по формуле $(p + q + r)^{2} = p^{2} + q^{2} + r^{2} + 2 pq + 2 p r + 2 q r$ :

$(x^{2} + 3 x - a)^{2} = x^{4} + 9 x^{2} + a^{2} + 6 x^{3} - 2 a x^{2} - 6 a x .$

Подставим это в уравнение системы. Слагаемые $x^{4}$ и $a^{2}$ есть в обеих частях и сокращаются:

$- 9 x^{2} = 6 x^{3} + (9 - 2 a) x^{2} - 6 a x \Leftrightarrow 6 x^{3} + (18 - 2 a) x^{2} - 6 a x = 0 \Leftrightarrow 2 x (3 x^{2} + (9 - a) x - 3 a) = 0.$

Найдём корни квадратного трёхчлена в скобках. Его дискриминант — полный квадрат:

$D = (9 - a)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3 a = 81 - 18 a + a^{2} + 36 a = a^{2} + 18 a + 81 = (a + 9)^{2} .$

Поэтому

$x = \frac{a - 9 \pm ( a + 9 )}{6}, x = \frac{a}{3} или x = - 3.$

Здесь вместо $\pm ∣ a + 9∣$ можно писать $\pm (a + 9)$ : два корня при этом просто меняются местами. Итак, исходное уравнение равносильно системе

$⎩ ⎨ ⎧ x = 0, x = - 3, x = \frac{a}{3}, x^{2} + 3 x - a ⩾ 0.$

Проверка условия $x^{2} + 3 x - a ⩾ 0$ для каждого кандидата.

При $x = 0$ получаем $- a ⩾ 0$ , то есть $a ⩽ 0$ .

При $x = - 3$ получаем $9 - 9 - a ⩾ 0$ , то есть тоже $a ⩽ 0$ .

При $x = \frac{a}{3}$ получаем $\frac{a ^{2}}{9} + a - a = \frac{a ^{2}}{9} ⩾ 0$ — верно при любом $a$ .

Совпадения кандидатов. Числа $0$ и $- 3$ различны. $\frac{a}{3} = 0$ при $a = 0$ , а $\frac{a}{3} = - 3$ при $a = - 9$ .

Подсчёт решений.

При $a > 0$ кандидаты $x = 0$ и $x = - 3$ не удовлетворяют условию, остаётся одно решение $x = \frac{a}{3}$ .

При $a = 0$ кандидаты равны $0$ , $- 3$ , $0$ , оба значения подходят ( $- a = 0 ⩾ 0$ ). Различных решений два.

При $a = - 9$ кандидаты равны $0$ , $- 3$ , $- 3$ , оба подходят. Различных решений тоже два.

При $a < 0$ , $a \neq = - 9$ все три кандидата подходят и попарно различны — ровно три решения.

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \infty; - 9) \cup (- 9; 0)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19