ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $g(x)=3x+|x-a|+|2x+a+1|$ и сделаем замену $t=g(x)$. Уравнение примет вид

$$t^2-at+a^2-16=0.(1)$$

Исследуем функцию $g$. Она непрерывна и кусочно-линейна. На каждом промежутке, где модули раскрываются с постоянными знаками, её угловой коэффициент равен $3\pm 1\pm 2$, то есть одному из чисел $6$, $4$, $2$, $0$. Нулевой коэффициент получается, только если оба модуля раскрываются с минусом: $x<a$ и $2x+a+1<0$, то есть при $x<p$, где $p=\min \left(a;-\frac{a+1}{2}\right)$. На этом луче

$$g(x)=3x-(x-a)-(2x+a+1)=-1.$$

При $x>p$ хотя бы один модуль раскрывается с плюсом, и угловой коэффициент равен $2$, $4$ или $6$ — он положителен. Значит, $g(x)=-1$ на луче $(-\infty ;p]$, а на $[p;+\infty )$ функция строго возрастает от $-1$ до $+\infty$.

Отсюда для каждого корня $t$ уравнения (1):

• если $t<-1$, уравнение $g(x)=t$ корней не имеет;
• если $t=-1$, корней бесконечно много (весь луч $x⩽p$);
• если $t>-1$, корень ровно один (функция непрерывна и строго возрастает на $[p;+\infty )$).

Поэтому исходное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет ровно один корень, больший $-1$, а число $-1$ его корнем не является. Это происходит в двух случаях: корни уравнения (1) лежат по разные стороны от $-1$, или уравнение (1) имеет единственный (двойной) корень, больший $-1$.

Пусть $h(t)=t^2-at+a^2-16$ — квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх.

Случай 1: корни по разные стороны от $-1$. Это равносильно условию $h(-1)<0$ (тогда дискриминант положителен автоматически):

$$1+a+a^2-16<0;a^2+a-15<0.$$

Корни трёхчлена $a^2+a-15$: $a=\frac{-1\pm \sqrt{1+60}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{61}}{2}$.

Получаем $a\in \left(\frac{-1-\sqrt{61}}{2};\frac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)$.

Случай 2: двойной корень больше $-1$. Двойной корень бывает при нулевом дискриминанте: $D=a^2-4\left(a^2-16\right)=64-3a^2=0$, $a=\pm \frac{8}{\sqrt{3}}$. Этот корень равен $t_0=\frac{a}{2}$, и условие $t_0>-1$ означает $a>-2$. Подходит только $a=\frac{8}{\sqrt{3}}$. При $a=-\frac{8}{\sqrt{3}}$ корень $t_0=-\frac{4}{\sqrt{3}}<-1$, и исходное уравнение корней не имеет.

Остальные значения не подходят. При $h(-1)=0$ число $t=-1$ — корень уравнения (1), и исходное уравнение имеет бесконечно много корней. При $h(-1)>0$ и $D>0$ оба корня уравнения (1) лежат по одну сторону от $-1$: если оба больше $-1$, корней $x$ два, если оба меньше — ни одного. При $D<0$ корней нет.

Значение $\frac{8}{\sqrt{3}}$ не входит в промежуток из случая 1: $\frac{8}{\sqrt{3}}>4$, так как $64>48$, а $\frac{-1+\sqrt{61}}{2}<4$, так как $\sqrt{61}<9$.

Ответ: $a\in \left(\frac{-1-\sqrt{61}}{2};\frac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)\cup \left\{\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}$.