ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Обозначим $m=x^2$ и $n=3x-a$. Тогда $x^2+3x-a=m+n$, и уравнение принимает вид

$$(m+n{)}^2=2m^2+2n^2.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть:

$$m^2+2mn+n^2=2m^2+2n^2⟺m^2-2mn+n^2=0⟺(m-n{)}^2=0⟺m=n.$$

Значит, исходное уравнение равносильно уравнению $x^2=3x-a$, то есть

$$a=3x-x^2.$$

Нужно найти, при каких $a$ это уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;2]$. Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$: построим график функции $a=3x-x^2$ при $x\in [0;2]$. Число корней равно числу общих точек графика с горизонтальной прямой на высоте $a$.

Функция $f(x)=3x-x^2$ задаёт параболу с ветвями вниз и вершиной при $x_0=\frac{3}{2}$; $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$. На концах отрезка $f(0)=0$ и $f(2)=6-4=2$. Значит, на $\left[0;\frac{3}{2}\right]$ функция возрастает от $0$ до $\frac{9}{4}$, а на $\left[\frac{3}{2};2\right]$ убывает от $\frac{9}{4}$ до $2$.

На каждом из участков монотонности функция принимает каждое своё значение ровно один раз. На участке возрастания она принимает значения от $0$ до $\frac{9}{4}$, на участке убывания — от $2$ до $\frac{9}{4}$. Поэтому:

при $a<0$ и при $a>\frac{9}{4}$ корней нет;

при $0⩽a<2$ значение принимается только на участке возрастания — один корень;

при $2⩽a<\frac{9}{4}$ значение принимается на обоих участках, в разных точках — два корня (например, при $a=2$ это $x=1$ и $x=2$);

при $a=\frac{9}{4}$ — один корень $x=\frac{3}{2}$ (вершина).

Ответ: $a\in [0;2)\cup \left\{\frac{9}{4}\right\}$.