ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $y$:

$$y^2+(x-14)y+49-7x=0.$$

Дискриминант: $D=(x-14{)}^2-4(49-7x)=x^2-28x+196-196+28x=x^2$. Корни:

$$y=\frac{14-x\pm x}{2};y_1=7,y_2=7-x.$$

То же даёт теорема, обратная теореме Виета: $y_1+y_2=14-x$, $y_1{y}_2=7(7-x)$. Значит, первое уравнение равносильно совокупности $y=7$ или $y=7-x$.

С учётом условия $x⩾3$ получаем два луча: луч $y=7$ с началом $B(3;7)$ и луч $y=7-x$ с началом $C(3;4)$ (так как $7-3=4$). Прямые $y=7$ и $y=7-x$ пересекаются в точке $(0;7)$, но она не удовлетворяет условию $x⩾3$. Поэтому лучи общих точек не имеют.

Второе уравнение задаёт прямую $y=ax+1$, проходящую через точку $(0;1)$ с угловым коэффициентом $a$. С ростом $a$ она поворачивается вокруг точки $(0;1)$ против часовой стрелки. Решений системы столько, сколько общих точек у этой прямой с двумя лучами.

Пересечение с лучом $y=7$. Из $ax+1=7$ получаем $ax=6$. При $a=0$ решений нет, при $a\ne 0$ $x=\frac{6}{a}$. Условие $\frac{6}{a}⩾3$ возможно только при $a>0$, и тогда оно равносильно $6⩾3a$, то есть $a⩽2$. Итак, одна общая точка при $0<a⩽2$.

Пересечение с лучом $y=7-x$. Из $ax+1=7-x$ получаем $(a+1)x=6$. При $a=-1$ решений нет: прямая параллельна лучу. Иначе $x=\frac{6}{a+1}$, и условие $\frac{6}{a+1}⩾3$ возможно только при $a+1>0$ и равносильно $a+1⩽2$. Итак, одна общая точка при $-1<a⩽1$.

Граничные положения прямой:

Положение I: $a=-1$ — прямая параллельна лучу $y=7-x$.

Положение II: $a=0$ — прямая параллельна лучу $y=7$.

Положение III: прямая проходит через $C(3;4)$: $4=3a+1$, $a=1$.

Положение IV: прямая проходит через $B(3;7)$: $7=3a+1$, $a=2$.

Подсчёт решений. Лучи не пересекаются, поэтому точки на разных лучах различны.

При $a⩽-1$ общих точек нет — решений нет.

При $-1<a⩽0$ есть только точка на луче $y=7-x$ — одно решение.

При $0<a⩽1$ по одной точке на каждом луче — два решения.

При $1<a⩽2$ есть только точка на луче $y=7$ — одно решение.

При $a>2$ решений нет.

Ответ: $a\in (-1;0]\cup (1;2]$.