ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Раскроем скобки и запишем его как квадратное относительно $y$:

$$y^2-7y=xy-5x-10⟺y^2-(x+7)y+5x+10=0.$$

Дискриминант: $D=(x+7{)}^2-4(5x+10)=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$. Корни:

$$y=\frac{x+7\pm (x-3)}{2};y_1=x+2,y_2=5.$$

Значит, первое уравнение равносильно совокупности $y=x+2$ или $y=5$.

Третье уравнение. Дробь равна $1$, когда знаменатель не равен нулю, а числитель равен знаменателю:

$$\frac{a(x-6)-2}{y-2}=1⟺\{\begin{array}{l}a(x-6)-2=y-2,\\ y\ne 2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}y=a(x-6),\\ y\ne 2.\end{array}$$

Исходная система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=x+2,\\ y=5,\end{array}\\ x⩽6,\\ y\ne 2,\\ y=a(x-6).\end{array}$$

Решим её графически на плоскости $(x;y)$. Первые три условия задают множество $G$, которое состоит из двух лучей:

• луч $y=5$ при $x⩽6$ с концом в точке $(6;5)$;
• луч $y=x+2$ при $x⩽6$ с концом в точке $(6;8)$, из которого выброшена точка с ординатой $2$, то есть точка $(0;2)$.

Лучи пересекаются в точке $C(3;5)$: из $x+2=5$ получаем $x=3$.

Последнее уравнение задаёт прямую $m$, проходящую через точку $M(6;0)$ с угловым коэффициентом $a$. С ростом $a$ она поворачивается вокруг $M$ против часовой стрелки. Система имеет единственное решение, когда прямая $m$ имеет с множеством $G$ ровно одну общую точку.

Пересечение с лучом $y=5$. Из $a(x-6)=5$: при $a=0$ решений нет, при $a\ne 0$ $x=6+\frac{5}{a}$. Условие $x⩽6$ означает $\frac{5}{a}⩽0$, то есть $a<0$. Итак, при $a<0$ — одна общая точка, при $a⩾0$ — ни одной.

Пересечение с лучом $y=x+2$. Из $a(x-6)=x+2$ получаем $(a-1)x=6a+2$. При $a=1$ решений нет: прямая $m$ параллельна лучу. При $a\ne 1$ $x=\frac{6a+2}{a-1}$, и условие $x⩽6$ даёт

$$\frac{6a+2}{a-1}-6=\frac{8}{a-1}⩽0⟺a<1.$$

Кроме того, нужно $y\ne 2$, то есть $x\ne 0$: $6a+2\ne 0$, $a\ne -\frac{1}{3}$. Итак, одна общая точка при $a<1$, $a\ne -\frac{1}{3}$, и ни одной в остальных случаях.

Совпадение точек. Точки на разных лучах совпадают, только если это точка $C(3;5)$: $5=a(3-6)$, $a=-\frac{5}{3}$.

Граничные положения прямой $m$:

Положение I: $m$ проходит через $C(3;5)$, $a=-\frac{5}{3}$.

Положение II: $m$ проходит через выколотую точку $(0;2)$: $2=a(0-6)$, $a=-\frac{1}{3}$.

Положение III: $m$ совпадает с осью абсцисс, $a=0$.

Положение IV: $m$ параллельна лучу $y=x+2$, $a=1$.

Подсчёт решений.

При $a<0$, $a\ne -\frac{5}{3}$, $a\ne -\frac{1}{3}$ прямая $m$ пересекает оба луча в разных точках — два решения.

При $a=-\frac{5}{3}$ обе точки совпадают с $C(3;5)$ — одно решение.

При $a=-\frac{1}{3}$ точка на луче $y=x+2$ — это выколотая точка $(0;2)$, остаётся только точка $(-9;5)$ на луче $y=5$ — одно решение.

При $0⩽a<1$ луч $y=5$ не задет, а на луче $y=x+2$ ровно одна точка — одно решение. Например, при $a=0$ это точка $(-2;0)$.

При $a⩾1$ общих точек нет — решений нет.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right\}\cup [0;1)$.