ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты при степенях $a$:

$$x^2-x=x(x-1),x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)\left(x^3-1\right),-x^3+x^2=-x^2(x-1).$$

Вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-1)\left(x{a}^2-\left(x^3-1\right)a-x^2\right)=0.$$

Во второй скобке сгруппируем слагаемые: $x{a}^2-x^{3}a+a-x^2=xa\left(a-x^2\right)+\left(a-x^2\right)=(xa+1)\left(a-x^2\right)$. Получаем

$$(x-1)(ax+1)\left(a-x^2\right)=0.$$

Уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ ax=-1,\\ a=x^2.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. Число решений при данном $a$ равно числу общих точек горизонтальной прямой на высоте $a$ с объединением трёх линий:

1. $x=1$ — вертикальная прямая;

2. $ax=-1$ — гипербола $a=-\frac{1}{x}$ (при $x=0$ равенство превращается в неверное $0=-1$, поэтому точек на оси ординат нет);

3. $a=x^2$ — парабола с вершиной $(0;0)$ и ветвями вверх.

Найдём попарные пересечения линий.

Прямая и парабола: $a=1^2=1$, точка $(1;1)$.

Прямая и гипербола: $a=-\frac{1}{1}=-1$, точка $(1;-1)$.

Парабола и гипербола: $x^2=-\frac{1}{x}$, $x^3=-1$, $x=-1$, точка $(-1;1)$.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=-1$, $a=0$ (через вершину параболы) и $a=1$.

Подсчитаем корни. Прямая $x=1$ даёт корень $x=1$ при любом $a$; гипербола — корень $x=-\frac{1}{a}$ при $a\ne 0$; парабола — корни $x=\pm \sqrt{a}$ при $a>0$ и один корень $x=0$ при $a=0$.

При $a<0$ корни $1$ и $-\frac{1}{a}>0$. Они совпадают, когда $-\frac{1}{a}=1$, то есть при $a=-1$. Значит, при $a<-1$ и при $-1<a<0$ корней два, при $a=-1$ — один.

При $a=0$ корни $1$ и $0$ (гипербола точек не даёт) — два корня.

При $a>0$ корни $1$, $\sqrt{a}$, $-\sqrt{a}$, $-\frac{1}{a}$, причём $\sqrt{a}>0$, а $-\sqrt{a}<0$ и $-\frac{1}{a}<0$. Совпадать могут только числа одного знака: $\sqrt{a}=1$ при $a=1$ и $-\sqrt{a}=-\frac{1}{a}$ при $a\sqrt{a}=1$, то есть тоже при $a=1$. При $a=1$ остаются корни $1$ и $-1$ — два; при остальных $a>0$ корней четыре.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup (-1;0]\cup \{1\}$.