ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Разложим на множители квадратный трёхчлен под корнем в правой части. По теореме Виета для уравнения $4x^2-(4a+2)x+2a=0$ сумма корней равна $\frac{4a+2}{4}=a+\frac{1}{2}$, а произведение равно $\frac{2a}{4}=\frac{a}{2}$. Значит, корни — это $a$ и $\frac{1}{2}$, и

$$4x^2-(4a+2)x+2a=4(x-a)\left(x-\frac{1}{2}\right)=(x-a)(4x-2).$$

Уравнение принимает вид

$$x\sqrt{x-a}=\sqrt{(x-a)(4x-2)}.$$

Левая часть определена при $x⩾a$. Рассмотрим два случая.

Случай $x=a$. Обе части равны нулю: $a\cdot \sqrt{0}=\sqrt{0}$. Значит, $x_1=a$ — корень уравнения при любом $a$.

Случай $x>a$. Тогда $x-a>0$, и правая часть определена только при $4x-2⩾0$; в этом случае $\sqrt{(x-a)(4x-2)}=\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{4x-2}$. Разделим обе части на $\sqrt{x-a}>0$:

$$x=\sqrt{4x-2}⟺\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x^2=4x-2.\end{array}$$

Условие $4x-2⩾0$ здесь выполняется само, ведь $4x-2=x^2$. Уравнение $x^2-4x+2=0$ имеет корни $x=2\pm \sqrt{2}$, оба положительны. Они являются корнями исходного уравнения, если больше $a$.

Итак, корни исходного уравнения: $x_1=a$ при любом $a$; $x_2=2-\sqrt{2}$ при $a<2-\sqrt{2}$; $x_3=2+\sqrt{2}$ при $a<2+\sqrt{2}$. При $a=2-\sqrt{2}$ число $2-\sqrt{2}$ тоже корень, но он совпадает с $x_1$.

Число $x_3=2+\sqrt{2}>1$ не лежит на отрезке $[0;1]$ ни при каком $a$, поэтому его не рассматриваем. Число $2-\sqrt{2}$ лежит на отрезке, так как $1<\sqrt{2}<2$.

Назовём корень хорошим, если он лежит на отрезке $[0;1]$. Корень $x_1=a$ хороший при $0⩽a⩽1$. Число $x_2=2-\sqrt{2}$ — хороший корень при $a⩽2-\sqrt{2}$ (при равенстве он совпадает с $x_1$).

Ровно один корень на отрезке получается в трёх случаях.

1. $x_1$ хороший, а $x_2$ не является корнем:

$$\{\begin{array}{l}0⩽a⩽1,\\ a>2-\sqrt{2}\end{array}⟺2-\sqrt{2}<a⩽1.$$

2. $x_1$ не лежит на отрезке, а $x_2$ — хороший корень:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a<0,\\ a>1,\end{array}\\ a<2-\sqrt{2}\end{array}⟺a<0.$$

3. Корни совпадают: $a=2-\sqrt{2}$, на отрезке один корень $x=2-\sqrt{2}$.

В остальных случаях условие не выполнено: при $0⩽a<2-\sqrt{2}$ на отрезке два различных корня $a$ и $2-\sqrt{2}$, а при $a>1$ корней на отрезке нет.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \left[2-\sqrt{2};1\right]$.