ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $u=x^2$, $v=y^2$, где $u⩾0$, $v⩾0$. По формуле разности квадратов $x^4-y^4=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=(u-v)(u+v)$, и система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}(u-v)(u+v)=12a-28,\\ u+v=a,\\ u⩾0,v⩾0.\end{array}$$

Сколько решений $(x;y)$ даёт одна пара $(u;v)$. Если $u>0$ и $v>0$, то $x=\pm \sqrt{u}$, $y=\pm \sqrt{v}$ — четыре различных решения. Если одно из чисел равно нулю, а другое положительно, — два решения. Если $u=v=0$, — одно решение $(0;0)$.

Случай $a⩽0$. При $a<0$ равенство $u+v=a$ невозможно, так как $u+v⩾0$. При $a=0$ получаем $u=v=0$, но тогда первое уравнение даёт $0=-28$ — неверно. Решений нет.

Случай $a>0$. Подставим $u+v=a$ в первое уравнение: $a(u-v)=12a-28$, откуда $u-v=\frac{12a-28}{a}$. Складывая и вычитая это равенство и равенство $u+v=a$, находим единственную пару

$$u=\frac{1}{2}\left(a+\frac{12a-28}{a}\right)=\frac{a^2+12a-28}{2a},v=\frac{1}{2}\left(a-\frac{12a-28}{a}\right)=\frac{a^2-12a+28}{2a}.$$

Так как пара $(u;v)$ при каждом $a>0$ одна, система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда $u>0$ и $v>0$. Знаменатель $2a$ положителен, поэтому это условие равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{a}^2+12a-28>0,\\ a^2-12a+28>0,\\ a>0.\end{array}$$

Первое неравенство: корни трёхчлена $a=-14$ и $a=2$, то есть $(a+14)(a-2)>0$.

С учётом $a>0$ получаем $a>2$.

Второе неравенство: корни трёхчлена $a=6\pm \sqrt{36-28}=6\pm 2\sqrt{2}$.

Получаем $a<6-2\sqrt{2}$ или $a>6+2\sqrt{2}$.

Сравним $2$ и $6-2\sqrt{2}$: неравенство $6-2\sqrt{2}>2$ равносильно $2>\sqrt{2}$, а это верно. Пересечём условия:

На границах решений меньше четырёх: при $a=2$ получаем $u=0$, при $a=6\pm 2\sqrt{2}$ получаем $v=0$, и система имеет по два решения.

Ответ: $a\in \left(2;6-2\sqrt{2}\right)\cup \left(6+2\sqrt{2};+\infty \right)$.