ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Запишем первое уравнение в виде $y=\frac{a}{2}(x+4)$. Это прямая $l$, проходящая через точку $(-4;0)$ с угловым коэффициентом $\frac{a}{2}$.

Второе уравнение $y=a|x|+|a|$ задаёт «уголок» с вершиной $V(0;|a|)$: при $x⩾0$ это луч $y=ax+|a|$, при $x<0$ — луч $y=-ax+|a|$.

При $a=0$ обе линии совпадают с прямой $y=0$ и никакой фигуры не ограничивают, поэтому $a=0$ не подходит. Дальше $a\ne 0$; рассмотрим два случая.

Случай $a>0$. Тогда $|a|=a$, уголок $y=a|x|+a$ направлен ветвями вверх, его вершина $V(0;a)$. Найдём точки пересечения уголка с прямой $l$. Разделим обе части на $a>0$ и умножим на $2$:

$$\frac{a}{2}(x+4)=a|x|+a⟺\frac{x+4}{2}=|x|+1⟺x+2=2|x|.$$

Раскроем модуль.

При $x⩾0$: $x+2=2x$, $x=2$, $y=\frac{a}{2}(2+4)=3a$. Получаем точку $M(2;3a)$.

При $x<0$: $x+2=-2x$, $x=-\frac{2}{3}$, $y=\frac{a}{2}\left(-\frac{2}{3}+4\right)=\frac{5a}{3}$. Получаем точку $N\left(-\frac{2}{3};\frac{5a}{3}\right)$.

При $x=0$ прямая $l$ проходит на высоте $2a$, то есть выше вершины $V(0;a)$. Уголок направлен вверх и пересекает $l$ в двух точках, поэтому линии ограничивают треугольник $VMN$.

Найдём площадь по формуле $S=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot h$, где $h$ — расстояние от вершины $V$ до прямой $l$, содержащей сторону $MN$.

Длина стороны $MN$ по формуле расстояния между двумя точками:

$$MN=\sqrt{{\left(2+\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(3a-\frac{5a}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{16a^2}{9}}=\frac{4}{3}\sqrt{4+a^2}.$$

Запишем уравнение прямой $l$ в общем виде: $2y=ax+4a$, то есть $ax-2y+4a=0$. Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Для точки $V(0;a)$:

$$h=\frac{|a\cdot 0-2a+4a|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{2a}{\sqrt{a^2+4}}.$$

Тогда площадь треугольника

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\sqrt{4+a^2}\cdot \frac{2a}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{4a}{3}.$$

Проверим результат другим способом. Отрезок оси ординат от $V(0;a)$ до точки $(0;2a)$ на прямой $l$ имеет длину $a$ и делит треугольник на два треугольника с этим общим основанием. Сумма их высот равна разности абсцисс точек $M$ и $N$: $2-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3}$. Поэтому $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{8}{3}=\frac{4a}{3}$.

Условие задачи $3⩽S<7$ даёт

$$3⩽\frac{4a}{3}<7⟺\frac{9}{4}⩽a<\frac{21}{4}.$$

Все эти значения положительны и подходят.

Случай $a<0$. Тогда $|a|=-a$, уголок $y=a|x|-a$ направлен ветвями вниз, его вершина $V(0;-a)$ лежит выше оси абсцисс. Найдём точки пересечения с прямой $l$. Разделим обе части на $a\ne 0$ и умножим на $2$:

$$\frac{a}{2}(x+4)=a|x|-a⟺\frac{x+4}{2}=|x|-1⟺x+6=2|x|.$$

При $x⩾0$: $x+6=2x$, $x=6$, $y=\frac{a}{2}(6+4)=5a$. Получаем точку $M(6;5a)$.

При $x<0$: $x+6=-2x$, $x=-2$, $y=\frac{a}{2}(-2+4)=a$. Получаем точку $N(-2;a)$.

При $x=0$ прямая $l$ проходит на высоте $2a<0<-a$, то есть ниже вершины. Уголок направлен вниз, и линии снова ограничивают треугольник $VMN$.

Длина стороны $MN$:

$$MN=\sqrt{(6+2{)}^2+(5a-a{)}^2}=\sqrt{64+16a^2}=4\sqrt{4+a^2}.$$

Расстояние от $V(0;-a)$ до прямой $ax-2y+4a=0$ (учтём, что $a<0$, поэтому $|6a|=-6a$):

$$h=\frac{|a\cdot 0-2\cdot (-a)+4a|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{|6a|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{-6a}{\sqrt{a^2+4}}.$$

Площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{4+a^2}\cdot \frac{-6a}{\sqrt{a^2+4}}=-12a.$$

Проверка вторым способом: отрезок оси ординат от точки $(0;2a)$ до $V(0;-a)$ имеет длину $-a-2a=-3a$, разность абсцисс точек $M$ и $N$ равна $6-(-2)=8$, поэтому $S=\frac{1}{2}\cdot (-3a)\cdot 8=-12a$.

Условие $3⩽S<7$ даёт $3⩽-12a<7$. Разделим на $-12$ и сменим знаки неравенств:

$$-\frac{7}{12}<a⩽-\frac{1}{4}.$$

Все эти значения отрицательны и подходят.

Объединим результаты двух случаев:

Ответ: $a\in \left(-\frac{7}{12};-\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{9}{4};\frac{21}{4}\right)$.