ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Нужно найти такие $x$, при которых равенство верно сразу для всех значений $a$ из отрезка $[-3\sqrt{2};1]$.

Дробь равна $1$ тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю, а числитель равен знаменателю:

$$\{\begin{array}{l}5a\sqrt{3}\sin 4x+\left(\sqrt{3}-5a\right)\cos 4x=6\sin 4x-\sqrt{3}\cos 4x,\\ 6\sin 4x-\sqrt{3}\cos 4x\ne 0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть уравнения и отдельно сгруппируем слагаемые с $a$:

$$5a\left(\sqrt{3}\sin 4x-\cos 4x\right)-\left(6\sin 4x-2\sqrt{3}\cos 4x\right)=0.$$

Заметим, что $6\sin 4x-2\sqrt{3}\cos 4x=2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\sin 4x-\cos 4x\right)$. Вынесем общий множитель:

$$\left(5a-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}\sin 4x-\cos 4x\right)=0.$$

Какой множитель должен быть равен нулю. Если $\sqrt{3}\sin 4x-\cos 4x\ne 0$, то равенство выполняется только при одном значении $a=\frac{2\sqrt{3}}{5}$. Но в отрезке $[-3\sqrt{2};1]$ есть и другие значения, например $a=0$, — при них равенство неверно. Значит, искомые $x$ обязаны удовлетворять условию

$$\sqrt{3}\sin 4x=\cos 4x.$$

К этому же выводу приводит подстановка $a=0$ в исходное уравнение, как в образце: $\frac{\sqrt{3}\cos 4x}{6\sin 4x-\sqrt{3}\cos 4x}=1$, откуда $3\sin 4x=\sqrt{3}\cos 4x$.

Решим уравнение. Если $\cos 4x=0$, то из равенства и $\sin 4x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}4x+{\cos }^{2}4x=1$. Значит, $\cos 4x\ne 0$, и можно разделить на $\sqrt{3}\cos 4x$:

$$\mathrm{tg}4x=\frac{1}{\sqrt{3}};4x=\frac{\pi }{6}+\pi m;x=\frac{\pi }{24}+\frac{\pi m}{4},m\in \mathbb{Z}.$$

Проверка. При таких $x$ второй множитель равен нулю, поэтому числитель равен знаменателю при любом $a$. Осталось убедиться, что знаменатель не обращается в ноль. При $\cos 4x=\sqrt{3}\sin 4x$

$$6\sin 4x-\sqrt{3}\cos 4x=6\sin 4x-3\sin 4x=3\sin 4x\ne 0,$$

так как $\sin 4x\ne 0$ (иначе и $\cos 4x=0$).

Проверим и прямой подстановкой. Серия $4x=\frac{\pi }{6}+\pi m$ состоит из точек $4x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$, где $\sin 4x=\frac{1}{2}$, $\cos 4x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, и точек $4x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k$, где синус и косинус меняют знак. В первом случае

$$\frac{5a\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}+\left(\sqrt{3}-5a\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6\cdot \frac{1}{2}-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1,5}{1,5}=1$$

при любом $a$. Во втором случае числитель и знаменатель меняют знак, и дробь снова равна $1$.

Значит, все найденные $x$ являются решениями уравнения при каждом $a$ из отрезка, а других таких $x$ нет.

Ответ: $x=\frac{\pi }{24}+\frac{\pi m}{4}$, $m\in \mathbb{Z}$.