ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение $x^2=y^2$ равносильно $|y|=|x|$, то есть $y=x$ или $y=-x$. Подставим $y^2=x^2$ в первое уравнение: $2x^2=4+2ax-a^2$. Получаем равносильную систему

$$\{\begin{array}{l}2x^2-2ax+a^2-4=0,\\ [\begin{array}{l}y=x,\\ y=-x.\end{array}\end{array}$$

Если $x_0$ — корень первого уравнения, то пары $(x_0;x_0)$ и $(x_0;-x_0)$ — решения системы. Они различны при $x_0\ne 0$ и совпадают при $x_0=0$. Решения, построенные по разным корням, тоже различны: у них разные абсциссы.

Первое уравнение квадратное, корней у него не больше двух. Поэтому система имеет не больше четырёх решений, и ровно четыре — тогда и только тогда, когда первое уравнение имеет два различных корня и ни один из них не равен нулю.

Два различных корня. Дискриминант должен быть положителен:

$$D=(2a{)}^2-4\cdot 2\cdot \left(a^2-4\right)=32-4a^2>0;a^2<8;-2\sqrt{2}<a<2\sqrt{2}.$$

При этих $a$ корни равны

$$x_1=\frac{a-\sqrt{8-a^2}}{2},x_2=\frac{a+\sqrt{8-a^2}}{2}.$$

Нулевой корень. Если $x_1=0$, то $a=\sqrt{8-a^2}$, откуда $a⩾0$ и $a^2=8-a^2$, то есть $a=2$. Если $x_2=0$, то $a=-\sqrt{8-a^2}$, откуда $a⩽0$ и $a^2=4$, то есть $a=-2$. Это легко проверить и подстановкой $x=0$ в первое уравнение: $a^2-4=0$.

При $a=2$ первое уравнение принимает вид $2x^2-4x=0$, его корни $0$ и $2$, и система имеет три решения: $(0;0)$, $(2;2)$, $(2;-2)$. При $a=-2$ аналогично три решения. Эти значения нужно исключить; оба они лежат в промежутке $\left(-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$, так как $2<2\sqrt{2}$.

Ответ: $a\in \left(-2\sqrt{2};-2\right)\cup (-2;2)\cup \left(2;2\sqrt{2}\right)$.