ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Ограничение: $2x+y+6⩾0$ (подкоренное выражение неотрицательно).

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Первый множитель определён всегда, второй — при $2x+y+6⩾0$. Поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}2x+y+6=0,\\ \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+4x=0,\\ 2x+y+6⩾0.\end{array}\end{array}$$

Уравнение $2x+y+6=0$ задаёт прямую $\ell$: $y=-2x-6$.

Во втором уравнении выделим полный квадрат: $x^2+4x+y^2=0⟺(x+2{)}^2+y^2=4$. Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом $2$.

Найдём точки пересечения окружности с прямой $\ell$. Подставим $y=-2x-6$:

$$(x+2{)}^2+(2x+6{)}^2=4;5x^2+28x+36=0;x=-2\text{или}x=-\frac{18}{5}.$$

Соответствующие ординаты: $y=-2\cdot (-2)-6=-2$ и $y=-2\cdot \left(-\frac{18}{5}\right)-6=\frac{6}{5}$. Получаем точки $A(-2;-2)$ и $B(-3,6;1,2)$.

Центр окружности удовлетворяет условию строго: $2\cdot (-2)+0+6=2>0$. Значит, условию $2x+y+6⩾0$ удовлетворяет большая дуга $AB$ — та, что лежит по одну сторону от прямой $\ell$ с центром (вместе с концами $A$ и $B$).

Итак, первое уравнение задаёт фигуру $F$: прямую $\ell$ и большую дугу $AB$ окружности.

Второе уравнение $y=a(x-2)$ задаёт прямую $m$, проходящую через точку $P(2;0)$ с угловым коэффициентом $a$. С ростом $a$ она поворачивается вокруг $P$ против часовой стрелки. Решения системы — общие точки прямой $m$ с фигурой $F$.

Общие точки с прямой $\ell$. При $a=-2$ прямая $m$ параллельна $\ell$ и не совпадает с ней (точка $P$ не лежит на $\ell$: $2\cdot 2+0+6\ne 0$). При $a\ne -2$ прямые пересекаются ровно в одной точке $K$. Её абсцисса находится из уравнения $a(x-2)=-2x-6$:

$$x_K=\frac{2a-6}{a+2}.$$

Общие точки с окружностью. Подставим $y=a(x-2)$ в уравнение $x^2+4x+y^2=0$:

$$\left(1+a^2\right)x^2+4\left(1-a^2\right)x+4a^2=0,\frac{D}{4}=4{\left(1-a^2\right)}^2-4a^2\left(1+a^2\right)=4-12a^2.$$

При $|a|>\frac{1}{\sqrt{3}}$ общих точек с окружностью нет, при $|a|=\frac{1}{\sqrt{3}}$ прямая $m$ касается окружности, при $|a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$ пересекает её в двух точках. Тот же результат даёт условие касания: расстояние от центра $(-2;0)$ до прямой $ax-y-2a=0$ равно $\frac{|-2a-2a|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{4|a|}{\sqrt{a^2+1}}$, и оно равно радиусу $2$ при $4a^2=a^2+1$, то есть $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Какие из этих точек лежат на дуге. Точка прямой $m$ с абсциссой $x$ удовлетворяет условию $2x+y+6⩾0$, если $2x+a(x-2)+6⩾0$, то есть $(a+2)x⩾2a-6$. При $|a|⩽\frac{1}{\sqrt{3}}$ имеем $a+2>0$, и условие принимает вид $x⩾x_K$. Значит, точка пересечения $m$ с окружностью лежит на нужной дуге тогда и только тогда, когда она не левее точки $K$.

Граничные положения прямой $m$:

Положение I: $m$ проходит через $A(-2;-2)$: $-2=a(-2-2)$, $a=\frac{1}{2}$.

Положение II: $m$ проходит через $B(-3,6;1,2)$: $1,2=a(-3,6-2)$, $a=-\frac{1,2}{5,6}=-\frac{3}{14}$.

Положения III и IV: $m$ касается окружности, $a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $a=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Расположим значения по возрастанию: $-\frac{1}{\sqrt{3}}<-\frac{3}{14}<\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ (так как $\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,58$). Подсчитаем решения.

При $|a|>\frac{1}{\sqrt{3}}$ с окружностью общих точек нет, остаётся только точка $K$ (а при $a=-2$ и её нет). Решений не больше одного.

При $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ абсцисса точки касания равна $x=\frac{2\left(a^2-1\right)}{1+a^2}=\frac{2\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}{\frac{4}{3}}=-1$, ордината $y=a(-1-2)=-3a=\mp \sqrt{3}$. Для неё $2x+y+6=4\mp \sqrt{3}>0$: точка касания лежит на дуге и не лежит на прямой $\ell$. Вместе с точкой $K$ получаем ровно два решения — подходит.

При $|a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$ прямая $m$ пересекает окружность в двух точках $M_1$ и $M_2$, причём абсцисса $M_1$ меньше. Всё зависит от того, где лежит точка $K$. Точки прямой $\ell$ внутри круга — это внутренние точки хорды $AB$, то есть точки с абсциссой от $-3,6$ до $-2$. Найдём, когда $K$ лежит внутри круга:

$$-3,6<\frac{2a-6}{a+2}<-2⟺-3,6a-7,2<2a-6<-2a-4⟺-\frac{3}{14}<a<\frac{1}{2}$$

(умножили на $a+2>0$).

Пусть $-\frac{3}{14}<a<\frac{1}{2}$. Точка $K$ лежит внутри круга, поэтому на секущей $m$ она находится между $M_1$ и $M_2$. Точка $M_2$ лежит правее $K$ и попадает на дугу, точка $M_1$ лежит левее $K$ и не попадает. Решения: $K$ и $M_2$ — ровно два, подходит.

Пусть $a=\frac{1}{2}$ или $a=-\frac{3}{14}$. Тогда $K$ совпадает с $A$ или с $B$. При $a=\frac{1}{2}$ корни квадратного уравнения равны $-2$ и $-0,4$, то есть $M_1=A=K$, а $M_2$ лежит правее и принадлежит дуге. При $a=-\frac{3}{14}$ корни равны $-3,6$ и $-\frac{2}{41}$, то есть $M_1=B=K$. В обоих случаях решений ровно два — подходит.

Пусть $\frac{1}{2}<a<\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $-\frac{1}{\sqrt{3}}<a<-\frac{3}{14}$. Тогда $K$ лежит вне круга, и обе точки $M_1$, $M_2$ находятся по одну сторону от $K$. Покажем, что правее. Абсцисса середины хорды $M_1{M}_2$ равна $x_0=\frac{2\left(a^2-1\right)}{1+a^2}=2-\frac{4}{1+a^2}$, а $x_K=2-\frac{10}{a+2}$. Неравенство $x_K<x_0$ равносильно $10\left(1+a^2\right)>4(a+2)$, то есть $5a^2-2a+1>0$, — оно верно при всех $a$, так как дискриминант $4-20<0$. Значит, обе точки лежат правее $K$ и обе принадлежат дуге. Решений три — не подходит.

Итак, ровно два решения система имеет при $a\in \left[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}\right]$ и при $a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\cup \left[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}\right]\cup \left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}$.