Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x²+a²-6x-4a|=2x+2a имеет… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная развёрнутое

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$∣ x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a ∣ = 2 x + 2 a$

имеет четыре различных корня.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Уравнение $∣ f ∣ = g$ равносильно системе: $g ⩾ 0$ и $f = g$ или $f = - g$ . Модуль неотрицателен, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной, а при $g ⩾ 0$ равенство $∣ f ∣ = g$ означает $f = \pm g$ . Получаем

$⎩ ⎨ ⎧ [x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a = 2 x + 2 a, x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a = - 2 x - 2 a, x + a ⩾ 0.$

Выделим полные квадраты. Первое уравнение: $x^{2} - 8 x + a^{2} - 6 a = 0$ , то есть $(x - 4)^{2} + (a - 3)^{2} = 25$ . Второе: $x^{2} - 4 x + a^{2} - 2 a = 0$ , то есть $(x - 2)^{2} + (a - 1)^{2} = 5$ . Система принимает вид

$⎩ ⎨ ⎧ [(x - 4)^{2} + (a - 3)^{2} = 25, (x - 2)^{2} + (a - 1)^{2} = 5, a ⩾ - x .$

Решим задачу графически на плоскости $(x; a)$ . Первое уравнение задаёт окружность $ω_{1}$ с центром $(4; 3)$ и радиусом $5$ , второе — окружность $ω_{2}$ с центром $(2; 1)$ и радиусом $5$ . Условие $a ⩾ - x$ оставляет только точки, лежащие не ниже прямой $a = - x$ . Число корней уравнения при данном $a$ равно числу точек полученного множества на горизонтальной прямой этой высоты.

Найдём точки пересечения окружностей с прямой $a = - x$ . Для $ω_{1}$ :

$(x - 4)^{2} + (- x - 3)^{2} = 25; 2 x^{2} - 2 x + 25 = 25; 2 x (x - 1) = 0.$

Для $ω_{2}$ :

$(x - 2)^{2} + (- x - 1)^{2} = 5; 2 x^{2} - 2 x + 5 = 5; 2 x (x - 1) = 0.$

Обе окружности пересекают прямую $a = - x$ в одних и тех же точках $O (0; 0)$ и $K (1; - 1)$ . Других общих точек у окружностей нет: если из уравнения $x^{2} - 8 x + a^{2} - 6 a = 0$ вычесть уравнение $x^{2} - 4 x + a^{2} - 2 a = 0$ , получится $- 4 x - 4 a = 0$ . Значит, общие точки окружностей лежат на прямой $a = - x$ , а это только $O$ и $K$ .

Центры $(4; 3)$ и $(2; 1)$ удовлетворяют строгому неравенству $a > - x$ , поэтому от каждой окружности остаётся большая дуга $O K$ вместе с концами, а малые дуги под прямой отбрасываются.

Большие дуги двух окружностей на плоскости (x; a)

Какие точки на горизонтальной прямой подходят. При данном $a$ окружность $ω_{1}$ даёт абсциссы $x = 4 \pm 25 - (a - 3)^{2}$ (при $- 2 ⩽ a ⩽ 8$ ), окружность $ω_{2}$ — абсциссы $x = 2 \pm 5 - (a - 1)^{2}$ (при $1 - 5 ⩽ a ⩽ 1 + 5$ ). Проверим для них условие $x ⩾ - a$ .

Правые точки подходят всегда. Для $ω_{1}$ имеем $x ⩾ 4$ , а $- a ⩽ 2$ , так как $a ⩾ - 2$ . Для $ω_{2}$ имеем $x ⩾ 2$ , а $- a ⩽ 5 - 1 < 2$ .

Левая точка $ω_{1}$ подходит, если $4 - 25 - (a - 3)^{2} ⩾ - a$ , то есть $25 - (a - 3)^{2} ⩽ a + 4$ . Обе части неотрицательны ( $a + 4 ⩾ 2$ ), поэтому возведение в квадрат — равносильный переход:

$25 - (a - 3)^{2} ⩽ (a + 4)^{2} ⟺ 2 a^{2} + 2 a ⩾ 0 ⟺ a (a + 1) ⩾ 0.$

Левая точка $ω_{2}$ подходит, если $5 - (a - 1)^{2} ⩽ a + 2$ , где $a + 2 > 0$ . Возведём в квадрат:

$5 - (a - 1)^{2} ⩽ (a + 2)^{2} ⟺ 2 a^{2} + 2 a ⩾ 0.$

Условие то же самое. Итак, левые точки обеих окружностей подходят при $a ⩽ - 1$ и при $a ⩾ 0$ , а при $- 1 < a < 0$ они лежат на отброшенных малых дугах.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a = 1 - 5$ и $a = 1 + 5$ — нижняя и верхняя точки $ω_{2}$ , $a = - 1$ — точка $K$ , $a = 0$ — точка $O$ . Кроме них, $a = - 2$ и $a = 8$ — нижняя и верхняя точки $ω_{1}$ . Заметим, что $- 2 < 1 - 5$ , так как $5 < 3$ .

Графическая иллюстрация

Пройдём по оси $a$ снизу вверх. Точки разных окружностей могут совпасть только в $O$ и $K$ , то есть только при $a = 0$ и $a = - 1$ .

При $a < - 2$ и при $a > 8$ точек нет — корней нет.

При $a = - 2$ и при $a = 8$ прямая касается $ω_{1}$ в точке с $x = 4$ , а $ω_{2}$ не задевает — один корень.

При $- 2 < a < 1 - 5$ — две точки $ω_{1}$ (здесь $a < - 1$ , и левая точка подходит) — два корня.

При $a = 1 - 5$ — две точки $ω_{1}$ и точка касания с $ω_{2}$ , $x = 2$ — три корня.

При $1 - 5 < a < - 1$ — по две точки на каждой окружности, все различны — четыре корня.

При $a = - 1$ окружность $ω_{1}$ даёт $x = 4 \pm 3$ , то есть $1$ и $7$ , а $ω_{2}$ — $x = 2 \pm 1$ , то есть $1$ и $3$ . Корень $x = 1$ общий — три корня.

При $- 1 < a < 0$ подходят только правые точки — два корня.

При $a = 0$ окружность $ω_{1}$ даёт $x = 4 \pm 4$ , то есть $0$ и $8$ , а $ω_{2}$ — $x = 2 \pm 2$ , то есть $0$ и $4$ . Корни $0$ , $4$ , $8$ — три корня.

При $0 < a < 1 + 5$ — по две точки на каждой окружности — четыре корня.

При $a = 1 + 5$ — две точки $ω_{1}$ и точка касания с $ω_{2}$ — три корня.

При $1 + 5 < a < 8$ — две точки $ω_{1}$ — два корня.

Итак, четыре различных корня уравнение имеет при $1 - 5 < a < - 1$ и при $0 < a < 1 + 5$ .

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (1 - 5; - 1) \cup (0; 1 + 5)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19