ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=ax-x^2$. Выражение $\frac{1}{t}$ имеет смысл при $t\ne 0$. Уравнение принимает вид

$$t+\frac{1}{t}+2=0.$$

Приведём к общему знаменателю и свернём числитель по формуле квадрата суммы:

$$\frac{t^2+2t+1}{t}=0;\frac{(t+1{)}^2}{t}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет. Отсюда $t=-1$, и ограничение $t\ne 0$ выполнено.

Сделаем обратную замену: $ax-x^2=-1$, то есть

$$x^2-1=ax.$$

Условие $t\ne 0$ теперь выполняется само, ведь $t=-1$. Значит, нужно найти, при каких $a$ уравнение $x^2-1=ax$ имеет ровно два различных корня на промежутке $(-2;2]$.

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Корни уравнения — абсциссы общих точек параболы $y=x^2-1$ и прямой $y=ax$.

Парабола $y=x^2-1$ имеет вершину $(0;-1)$, ветви направлены вверх. Так как $(\pm 2{)}^2-1=3$, промежутку $(-2;2]$ соответствует дуга параболы между точками $A(-2;3)$ и $B(2;3)$, причём точка $A$ в неё не входит (промежуток открыт слева), а точка $B$ входит.

Прямая $y=ax$ проходит через начало координат $O(0;0)$ и имеет угловой коэффициент $a$. С ростом $a$ она поворачивается вокруг точки $O$ против часовой стрелки.

Точка $O$ лежит внутри параболы (выше вершины), поэтому любая прямая $y=ax$ пересекает параболу ровно в двух точках — одной левее оси ординат и одной правее. Алгебраически: у уравнения $x^2-ax-1=0$ дискриминант $a^2+4>0$, а произведение корней по теореме Виета равно $-1<0$, так что корни $x_1<0<x_2$. Ровно два корня на $(-2;2]$ означает, что $x_1\in (-2;0)$ и $x_2\in (0;2]$.

Граничные положения прямой — через концы дуги.

Положение I: прямая проходит через точку $A(-2;3)$: $3=a\cdot (-2)$, $a=-1,5$.

Положение II: прямая проходит через точку $B(2;3)$: $3=a\cdot 2$, $a=1,5$.

При повороте прямой от положения I к положению II (тонкой линией показан пример такой прямой) обе точки пересечения лежат на нужной дуге. Обоснуем это. Пусть $f(x)=x^2-ax-1$. Между корнями $x_1$ и $x_2$ функция отрицательна, вне отрезка $[x_1;x_2]$ — положительна.

Левый корень. Число $-2$ меньше $x_2$, поэтому $x_1>-2$ тогда и только тогда, когда $f(-2)>0$:

$$4+2a-1>0;a>-1,5.$$

Правый корень. Число $2$ больше $x_1$, поэтому $x_2⩽2$ тогда и только тогда, когда $f(2)⩾0$:

$$4-2a-1⩾0;a⩽1,5.$$

Значит, при $a⩽-1,5$ левый корень не больше $-2$ и в промежуток не попадает (при $a=-1,5$ это ровно выколотая точка $A$), и на $(-2;2]$ корень один. При $a>1,5$ правый корень больше $2$, и корень снова один. При $-1,5<a⩽1,5$ оба корня лежат на $(-2;2]$; при $a=1,5$ правый корень — это точка $B$, она входит в промежуток.

Ответ: $a\in (-1,5;1,5]$.