ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому первое уравнение задаёт на плоскости $(x;y)$ объединение двух прямых

$$l_1:x+ay=17,l_2:x+ay=17a.$$

Коэффициенты при $x$ и $y$ у них одинаковые, поэтому прямые параллельны или совпадают. Совпадают они при $17=17a$, то есть при $a=1$: тогда первое уравнение задаёт одну прямую $x+y=17$.

Второе уравнение $x^2+y^2=15^2$ задаёт окружность $\omega$ с центром в начале координат и радиусом $15$.

Решения системы — общие точки окружности $\omega$ с прямыми $l_1$ и $l_2$. Прямая и окружность имеют не более двух общих точек.

При $a=1$ прямая одна, и решений не больше двух. Это значение не подходит.

При $a\ne 1$ прямые параллельны и различны, общих точек у них нет. Поэтому система имеет ровно четыре решения тогда и только тогда, когда каждая из прямых $l_1$ и $l_2$ пересекает окружность ровно в двух точках.

Прямая $l_1$. Выразим $x=17-ay$ и подставим в уравнение окружности:

$$(17-ay{)}^2+y^2=225;\left(a^2+1\right)y^2-34ay+64=0.$$

Каждому корню $y$ соответствует ровно одна точка $(17-ay;y)$ прямой, поэтому число общих точек $l_1$ и $\omega$ равно числу корней этого уравнения. Старший коэффициент $a^2+1>0$, так что уравнение квадратное, и два корня у него есть при положительном дискриминанте:

$$\frac{D}{4}=(17a{)}^2-64\left(a^2+1\right)=225a^2-64>0;(15a-8)(15a+8)>0.$$

Решим неравенство методом интервалов:

Получаем $a\in \left(-\infty ;-\frac{8}{15}\right)\cup \left(\frac{8}{15};+\infty \right)$.

Прямая $l_2$. Выразим $x=17a-ay$ и подставим в уравнение окружности:

$$(17a-ay{)}^2+y^2=225;\left(a^2+1\right)y^2-34a^{2}y+289a^2-225=0.$$

Найдём четверть дискриминанта:

$$\frac{D}{4}={\left(17a^2\right)}^2-\left(a^2+1\right)\left(289a^2-225\right)=289a^4-289a^4+225a^2-289a^2+225=225-64a^2.$$

Два корня — при $225-64a^2>0$, то есть $(8a-15)(8a+15)<0$:

Получаем $a\in \left(-\frac{15}{8};\frac{15}{8}\right)$.

Те же условия можно получить, сравнив с радиусом расстояния от центра окружности до прямых: $\frac{17}{\sqrt{1+a^2}}<15$ и $\frac{17|a|}{\sqrt{1+a^2}}<15$.

Итог. Нужно, чтобы выполнялись оба условия и $a\ne 1$. Сравним границы: $\frac{8}{15}<1<\frac{15}{8}$. Пересечение промежутков — это $\frac{8}{15}<|a|<\frac{15}{8}$; из него выбросим $a=1$:

Ответ: $a\in \left(-\frac{15}{8};-\frac{8}{15}\right)\cup \left(\frac{8}{15};1\right)\cup \left(1;\frac{15}{8}\right)$.