ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые с общим множителем:

$$x^4+a^2{x}^2-4a{x}^2-4x^2-4a^2+16a=0;$$

$$x^2\left(x^2+a^2-4a\right)-4\left(x^2+a^2-4a\right)=0;$$

$$\left(x^2-4\right)\left(x^2+a^2-4a\right)=0.$$

Оба множителя определены при всех $x$ и $a$, поэтому произведение равно нулю ровно тогда, когда равен нулю хотя бы один из них. Во втором множителе выделим полный квадрат: $a^2-4a=(a-2{)}^2-4$. Уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=-2,\\ x=2,\\ x^2+(a-2{)}^2=4.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$: по горизонтали откладываем $x$, по вертикали $a$. При фиксированном $a$ решения уравнения — абсциссы общих точек горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством, которое задаёт совокупность.

Уравнения $x=-2$ и $x=2$ задают вертикальные прямые. Уравнение $x^2+(a-2{)}^2=4$ задаёт окружность с центром $(0;2)$ и радиусом $2$.

Найдём общие точки окружности с прямыми. Подставим $x=\pm 2$ в уравнение окружности: $4+(a-2{)}^2=4$, $(a-2{)}^2=0$, $a=2$. Значит, окружность касается обеих прямых — в точках $(-2;2)$ и $(2;2)$: расстояние от центра до каждой прямой равно $2$, то есть радиусу. Нижняя точка окружности — $(0;0)$, верхняя — $(0;4)$.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=0$ (через нижнюю точку окружности), $a=2$ (через точки касания) и $a=4$ (через верхнюю точку).

Подсчитаем решения при каждом $a$. Прямые $x=\pm 2$ дают два решения при любом $a$. Окружность при данном $a$ даёт решения $x=\pm \sqrt{4-(a-2{)}^2}$, если $4-(a-2{)}^2⩾0$, то есть $0⩽a⩽4$.

При $a<0$ и при $a>4$ горизонтальная прямая не задевает окружность: решений ровно два, $x=\pm 2$.

При $a=0$ и при $a=4$ прямая касается окружности в точке с абсциссой $0$: решений три — $-2$, $0$, $2$.

При $0<a<2$ и при $2<a<4$ прямая пересекает окружность в двух точках, причём $|x|=\sqrt{4-(a-2{)}^2}<2$, так как $(a-2{)}^2>0$. Эти точки не совпадают с точками на прямых $x=\pm 2$: решений четыре.

При $a=2$ окружность даёт $x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$ — те же числа, что и прямые. Решений ровно два.

Итак, ровно два решения уравнение имеет при $a<0$, при $a=2$ и при $a>4$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \{2\}\cup (4;+\infty )$.