ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{A}=B$ равносильно системе $A=B^2$, $B⩾0$. Арифметический корень неотрицателен, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной, а при $B⩾0$ возведение в квадрат — равносильный переход. Условие $A⩾0$ отдельно писать не нужно: из $A=B^2$ оно выполняется само.

$$\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a⟺\{\begin{array}{l}{x}^4-4x^2+9a^2={\left(x^2+2x-3a\right)}^2,\\ x^2+2x-3a⩾0.\end{array}$$

Раскроем квадрат трёхчлена по формуле $(p+q+r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2pq+2pr+2qr$:

$${\left(x^2+2x-3a\right)}^2=x^4+4x^2+9a^2+4x^3-6a{x}^2-12ax.$$

Подставим в уравнение системы. Слагаемые $x^4$ и $9a^2$ в обеих частях сокращаются:

$$-4x^2=4x^2+4x^3-6a{x}^2-12ax;4x^3+8x^2-6a{x}^2-12ax=0.$$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $x+2$:

$$4x^2(x+2)-6ax(x+2)=0;2x(x+2)(2x-3a)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем три кандидата:

$$x_1=0,x_2=-2,x_3=\frac{3a}{2}.$$

Для каждого кандидата проверим условие $x^2+2x-3a⩾0$.

При $x_1=0$: $-3a⩾0$, то есть $a⩽0$.

При $x_2=-2$: $4-4-3a⩾0$, то есть тоже $a⩽0$.

При $x_3=\frac{3a}{2}$: $\frac{9a^2}{4}+3a-3a=\frac{9a^2}{4}⩾0$ — верно при любом $a$.

Значит, при $a>0$ уравнение имеет единственный корень $x_3$, а при $a⩽0$ годятся все три кандидата. Ровно три решения получатся, если $a⩽0$ и все три кандидата различны.

Числа $0$ и $-2$ различны всегда. Третий кандидат совпадает с первым, если $\frac{3a}{2}=0$, то есть при $a=0$, и со вторым, если $\frac{3a}{2}=-2$, то есть при $a=-\frac{4}{3}$. При каждом из этих значений различных корней остаётся два ($0$ и $-2$), поэтому они не подходят.

Итак, уравнение имеет ровно три решения при $a<0$, $a\ne -\frac{4}{3}$.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup \left(-\frac{4}{3};0\right)$.