ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Обозначим $p=x^2$, $q=5x-a$. Тогда уравнение имеет вид $(p+q{)}^2=2p^2+2q^2$. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть:

$$p^2+2pq+q^2=2p^2+2q^2;p^2-2pq+q^2=0;(p-q{)}^2=0;p=q.$$

Значит, исходное уравнение равносильно уравнению

$$x^2=5x-a;x^2-5x+a=0,$$

и нужно найти $a$, при которых у него ровно один корень на отрезке $[0;4]$.

Дискриминант $D=25-4a$.

При $a>\frac{25}{4}$ корней нет.

При $a=\frac{25}{4}$ корень один: $x=\frac{5}{2}=2,5\in [0;4]$ — значение подходит.

При $a<\frac{25}{4}$ корней два:

$$x_1=\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}<\frac{5}{2}<x_2=\frac{5+\sqrt{25-4a}}{2},$$

причём $x_1+x_2=5$ по теореме Виета, то есть корни симметричны относительно $2,5$.

Если $x_2⩽4$, то $x_1=5-x_2⩾1$, и оба корня лежат на $[0;4]$ — решений два. Значит, нужно $x_2>4$; тогда $x_1=5-x_2<1$, и на отрезке может лежать только $x_1$ — для этого нужно $x_1⩾0$.

Условие $x_2>4$:

$$\frac{5+\sqrt{25-4a}}{2}>4;\sqrt{25-4a}>3;25-4a>9;a<4.$$

Условие $x_1⩾0$:

$$\frac{5-\sqrt{25-4a}}{2}⩾0;\sqrt{25-4a}⩽5;25-4a⩽25;a⩾0.$$

Получаем $0⩽a<4$. Проверим концы: при $a=0$ корни $0$ и $5$, на отрезке лежит только $x=0$ — подходит; при $a=4$ корни $1$ и $4$, оба на отрезке — не подходит.

Ответ: $a\in [0;4)\cup \left\{\frac{25}{4}\right\}$.