ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Так как $x^2=|x{|}^2$, выражение $4x^2-8|x|+4$ — полный квадрат:

$$4x^2-8|x|+4=4\left(|x{|}^2-2|x|+1\right)={\left(2|x|-2\right)}^2.$$

Тогда уравнение принимает вид разности квадратов:

$$a^2-{\left(2|x|-2\right)}^2=0;\left(a-2|x|+2\right)\left(a+2|x|-2\right)=0;[\begin{array}{l}a=2|x|-2,\\ a=2-2|x|.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$: корни уравнения при данном $a=c$ — это абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=c$ с объединением двух графиков.

График $a=2|x|-2$ — уголок с вершиной $(0;-2)$, ветви направлены вверх (это лучи $a=-2x-2$ при $x⩽0$ и $a=2x-2$ при $x⩾0$). График $a=2-2|x|$ — уголок с вершиной $(0;2)$, ветви направлены вниз (лучи $a=2x+2$ при $x⩽0$ и $a=2-2x$ при $x⩾0$). Графики пересекаются, когда $2|x|-2=2-2|x|$, то есть $|x|=1$, — в точках $(-1;0)$ и $(1;0)$.

Горизонтальная прямая $a=c$ пересекает уголок $a=2|x|-2$ в двух точках при $c>-2$, в одной (вершине) при $c=-2$ и не пересекает при $c<-2$. Уголок $a=2-2|x|$ она пересекает в двух точках при $c<2$, в одной при $c=2$ и не пересекает при $c>2$. Общие точки графиков лежат только на прямой $a=0$, поэтому совпадение точек возможно лишь при $c=0$.

Изобразим графики и граничные положения прямой пунктиром; вертикальная ось на рисунке — ось $a$, положение $a=0$ совпадает с осью абсцисс.

Разберём все случаи.

При $a<-2$: две точки на уголке $a=2-2|x|$ и ни одной на другом — два корня.

При $a=-2$: вершина $(0;-2)$ и две точки второго уголка ($2-2|x|=-2$, $x=\pm 2$) — три корня.

При $-2<a<0$ и при $0<a<2$: по две точки на каждом уголке, все различны — четыре корня.

При $a=0$: оба уголка проходят через точки $(\pm 1;0)$, точки совпадают — два корня $x=\pm 1$.

При $a=2$: две точки уголка $a=2|x|-2$ ($x=\pm 2$) и вершина $(0;2)$ — три корня.

При $a>2$: две точки на уголке $a=2|x|-2$ — два корня.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup \{0\}\cup (2;+\infty )$.