ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Запишем $25^x=5^{2x}$, $15^x=5^x\cdot 3^x$, $9^x=3^{2x}$ и перенесём всё в левую часть:

$$(a-1)\cdot 5^{2x}+(2a-14)\cdot 5^x\cdot 3^x-(3a-15)\cdot 3^{2x}=0.$$

Так как $3^{2x}>0$ при любых $x$, разделим обе части на $3^{2x}$:

$$(a-1)\cdot {\left(\frac{5}{3}\right)}^{2x}+(2a-14)\cdot {\left(\frac{5}{3}\right)}^x-(3a-15)=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{3}\right)}^x$. Функция ${\left(\frac{5}{3}\right)}^x$ возрастает и принимает каждое положительное значение ровно один раз, поэтому каждый корень $t>0$ даёт ровно один корень $x$, а корни $t⩽0$ корней не дают. Задача свелась к следующей: при каких $a$ уравнение

$$(a-1)t^2+(2a-14)t-(3a-15)=0$$

имеет ровно один положительный корень.

Подставим $t=1$: $(a-1)+(2a-14)-(3a-15)=0$. Значит, $t=1$ — корень при любом $a$ (то есть $x=0$ всегда корень исходного уравнения).

Случай $a=1$. Уравнение линейное: $-12t+12=0$, $t=1$. Положительный корень один — значение подходит.

Случай $a\ne 1$. Уравнение квадратное, один его корень $t_1=1$. Второй корень найдём по теореме Виета из произведения корней:

$$t_1{t}_2=\frac{-(3a-15)}{a-1};t_2=\frac{15-3a}{a-1}.$$

Положительный корень ровно один в двух случаях: второй корень неположителен или совпадает с первым.

Первый случай:

$$\frac{15-3a}{a-1}⩽0\iff \frac{a-5}{a-1}⩾0.$$

Получаем $a<1$ или $a⩾5$. При $a=5$ второй корень $t_2=0$ не даёт корня $x$ — значение подходит.

Второй случай: $\frac{15-3a}{a-1}=1$, $15-3a=a-1$, $a=4$. Тогда уравнение $3t^2-6t+3=0$, то есть $3(t-1{)}^2=0$, имеет единственный корень $t=1$ — значение подходит.

При остальных $a$, то есть при $1<a<5$, $a\ne 4$, второй корень положителен и отличен от $1$ — исходное уравнение имеет два корня.

Объединяя случаи, получаем ответ.

Ответ: $a\in (-\infty ;1]\cup \{4\}\cup [5;+\infty )$.