ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Функция нечётна, если её область определения симметрична относительно нуля и для всех $x$ из неё выполнено $f(-x)=-f(x)$, то есть $f(x)+f(-x)=0$.

Область определения. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы:

$$\{\begin{array}{l}a-6>0,\\ a-6\ne 1\end{array}\iff a>6,a\ne 7.$$

При остальных $a$ функция не определена ни при одном $x$, и такие $a$ не подходят. Подкоренное выражение $a^2+36x^2>0$ при всех $x$. Аргумент логарифма тоже всегда положителен: при $a>6$ имеем $a^2>0$, поэтому

$$\sqrt{a^2+36x^2}>\sqrt{36x^2}=6|x|⩾6x.$$

Значит, при $a>6$, $a\ne 7$ функция определена на всей прямой — область определения симметрична.

Условие нечётности. Запишем

$$f(-x)={\log }_{a-6}\left(\sqrt{a^2+36x^2}+6x\right)-2.$$

Оба аргумента положительны, поэтому сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения, а произведение сопряжённых выражений вычисляется по формуле разности квадратов:

$$f(x)+f(-x)={\log }_{a-6}\left(\left(\sqrt{a^2+36x^2}-6x\right)\left(\sqrt{a^2+36x^2}+6x\right)\right)-4={\log }_{a-6}\left(a^2+36x^2-36x^2\right)-4={\log }_{a-6}{a}^2-4.$$

Сумма не зависит от $x$, поэтому функция нечётна тогда и только тогда, когда

$${\log }_{a-6}{a}^2=4\iff a^2=(a-6{)}^4.$$

При $a>6$ обе величины $a$ и $(a-6{)}^2$ положительны, поэтому из равенства их квадратов следует равенство самих величин:

$$a=(a-6{)}^2;a^2-13a+36=0;D=169-144=25;a=\frac{13\pm 5}{2}.$$

Получаем $a=9$ или $a=4$. Условию $a>6$, $a\ne 7$ удовлетворяет только $a=9$. Второй вариант $(a-6{)}^2=-a$ при $a>0$ невозможен: левая часть положительна, правая отрицательна.

Проверка: при $a=9$ основание равно $3$, и $f(x)+f(-x)={\log }_{3}81-4=4-4=0$ при всех $x$.

Ответ: $a=9$.