ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=|x-8|-|x-a|$. Уравнение примет вид

$$t^2-7at+10a^2+6a-4=0.$$

Найдём его дискриминант:

$$D=49a^2-4\left(10a^2+6a-4\right)=9a^2-24a+16=(3a-4{)}^2;$$

$$t=\frac{7a\pm (3a-4)}{2};t_1=5a-2,t_2=2a+2.$$

Значит, исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}|x-8|-|x-a|=5a-2,\\ |x-8|-|x-a|=2a+2.\end{array}$$

Исследуем функцию $\phi (x)=|x-8|-|x-a|$: сколько решений имеет уравнение $\phi (x)=c$ при разных $c$. Чтобы раскрыть модули, нужно знать, как расположены на оси числа $8$ и $a$.

1) $a=8$. Тогда $\phi (x)\equiv 0$, и совокупность превращается в $0=38$ или $0=18$ — решений нет. Значение $a=8$ не подходит.

2) $a>8$. Раскроем модули на промежутках:

При $x⩽8$: $\phi (x)=(8-x)-(a-x)=8-a$.

При $8<x<a$: $\phi (x)=(x-8)-(a-x)=2x-8-a$.

При $x⩾a$: $\phi (x)=(x-8)-(x-a)=a-8$.

Здесь $8-a<0<a-8$. Функция постоянна на лучах и линейно возрастает от $8-a$ до $a-8$ на отрезке $[8;a]$:

Поэтому уравнение $\phi (x)=c$ имеет ровно одно решение при $8-a<c<a-8$, бесконечно много решений при $c=8-a$ и при $c=a-8$ и не имеет решений при остальных $c$.

3) $a<8$. Раскроем модули:

При $x⩽a$: $\phi (x)=(8-x)-(a-x)=8-a$.

При $a<x<8$: $\phi (x)=(8-x)-(x-a)=8+a-2x$.

При $x⩾8$: $\phi (x)=(x-8)-(x-a)=a-8$.

Здесь $a-8<0<8-a$, функция линейно убывает от $8-a$ до $a-8$ на отрезке $[a;8]$:

Уравнение $\phi (x)=c$ имеет ровно одно решение при $a-8<c<8-a$, бесконечно много — при $c=a-8$ и при $c=8-a$, и ни одного — при остальных $c$.

Подсчёт решений. Если $t_1=t_2$, то есть $5a-2=2a+2$, $a=\frac{4}{3}$, совокупность сводится к одному уравнению $\phi (x)=\frac{14}{3}$, у которого не может быть ровно двух решений. Значение $a=\frac{4}{3}$ не подходит.

Если $t_1\ne t_2$, у двух уравнений совокупности нет общих решений: $\phi (x)$ не может равняться сразу двум разным числам. Тогда число решений равно сумме чисел решений двух уравнений, а каждое из них равно $0$, $1$ или бесконечно. Ровно два решения получаются только тогда, когда каждое уравнение имеет ровно одно решение.

При $a>8$ это означает

$$\{\begin{array}{l}8-a<5a-2<a-8,\\ 8-a<2a+2<a-8.\end{array}$$

Из неравенства $5a-2<a-8$ получаем $4a<-6$, $a<-\frac{3}{2}$, что противоречит условию $a>8$. Подходящих $a$ нет.

При $a<8$ нужно

$$\{\begin{array}{l}a-8<5a-2<8-a,\\ a-8<2a+2<8-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4a>-6,\\ 6a<10,\\ a>-10,\\ 3a<6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>-\frac{3}{2},\\ a<\frac{5}{3},\\ a>-10,\\ a<2.\end{array}$$

Получаем $-\frac{3}{2}<a<\frac{5}{3}$; все эти значения удовлетворяют условию $a<8$. На концах промежутка неравенства становятся равенствами: при $a=-\frac{3}{2}$ получаем $t_1=-\frac{19}{2}=a-8$, при $a=\frac{5}{3}$ получаем $t_1=\frac{19}{3}=8-a$, и уравнение $\phi (x)=t_1$ имеет бесконечно много решений — эти значения не подходят.

Осталось исключить $a=\frac{4}{3}$, при котором корни $t_1$ и $t_2$ совпадают.

Ответ: $a\in \left(-\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right)\cup \left(\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)$.