ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Запишем первую линию как $y=\frac{a}{2}(x+2)$: это прямая, проходящая через точку $(-2;0)$ с угловым коэффициентом $\frac{a}{2}$.

Вторая линия $y=a|x|-\left|\frac{a}{2}\right|$ — «уголок» с вершиной $C\left(0;-\left|\frac{a}{2}\right|\right)$, ветви которого имеют угловые коэффициенты $a$ и $-a$.

При $a=0$ обе линии совпадают с прямой $y=0$, и никакой фигуры они не ограничивают — значение $a=0$ не подходит. Рассмотрим случаи $a>0$ и $a<0$.

Случай $a>0$. Тогда $\left|\frac{a}{2}\right|=\frac{a}{2}$, вершина уголка $C\left(0;-\frac{a}{2}\right)$, ветви направлены вверх. Найдём точки пересечения, приравняв правые части и разделив на $\frac{a}{2}\ne 0$:

$$\frac{a}{2}x+a=a|x|-\frac{a}{2};x+2=2|x|-1;x+3=2|x|.$$

При $x⩾0$: $x+3=2x$, $x=3$; тогда $y=\frac{a}{2}\cdot 5=\frac{5a}{2}$. При $x<0$: $x+3=-2x$, $x=-1$; тогда $y=\frac{a}{2}\cdot 1=\frac{a}{2}$.

Получили точки $A\left(-1;\frac{a}{2}\right)$ и $B\left(3;\frac{5a}{2}\right)$. Ветви уголка круче прямой ($a>\frac{a}{2}$), поэтому вне отрезка $[-1;3]$ уголок лежит выше прямой, а на нём — ниже (например, при $x=0$: $-\frac{a}{2}<a$). Значит, линии ограничивают треугольник $ABC$.

Найдём его площадь как половину произведения стороны $AB$ на расстояние от $C$ до прямой $AB$. По формуле расстояния между точками

$$AB=\sqrt{(3-(-1){)}^2+{\left(\frac{5a}{2}-\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{16+4a^2}=2\sqrt{a^2+4}.$$

Уравнение прямой $AB$ запишем в виде $ax-2y+2a=0$. Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, поэтому для точки $C\left(0;-\frac{a}{2}\right)$

$$h=\frac{\left|a\cdot 0-2\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+2a\right|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{3a}{\sqrt{a^2+4}}.$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a^2+4}\cdot \frac{3a}{\sqrt{a^2+4}}=3a.$$

Проверим другим способом: прямая $x=0$ делит треугольник на два с общей вертикальной стороной от $C$ до точки $(0;a)$ прямой $AB$ длиной $a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$ и высотами $1$ и $3$, поэтому $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3a}{2}\cdot (1+3)=3a$.

Условие задачи: $6<3a⩽12$, то есть $2<a⩽4$.

Случай $a<0$. Тогда $\left|\frac{a}{2}\right|=-\frac{a}{2}$, вторая линия $y=a|x|+\frac{a}{2}$, её вершина $C\left(0;\frac{a}{2}\right)$, ветви направлены вниз. Приравняем правые части и разделим на $\frac{a}{2}\ne 0$:

$$\frac{a}{2}x+a=a|x|+\frac{a}{2};x+2=2|x|+1;x+1=2|x|.$$

При $x⩾0$: $x+1=2x$, $x=1$; тогда $y=\frac{a}{2}\cdot 3=\frac{3a}{2}$. При $x<0$: $x+1=-2x$, $x=-\frac{1}{3}$; тогда $y=\frac{a}{2}\cdot \frac{5}{3}=\frac{5a}{6}$.

Получили точки $A\left(-\frac{1}{3};\frac{5a}{6}\right)$ и $B\left(1;\frac{3a}{2}\right)$; как и в первом случае, линии ограничивают треугольник $ABC$.

$$AB=\sqrt{{\left(1+\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{2}-\frac{5a}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{4a^2}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{a^2+4}.$$

Расстояние от $C\left(0;\frac{a}{2}\right)$ до прямой $ax-2y+2a=0$ (учитываем, что $|a|=-a$):

$$h=\frac{\left|a\cdot 0-2\cdot \frac{a}{2}+2a\right|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{|a|}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{-a}{\sqrt{a^2+4}}.$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\sqrt{a^2+4}\cdot \frac{-a}{\sqrt{a^2+4}}=-\frac{a}{3}.$$

Проверка: вертикальная сторона от $C\left(0;\frac{a}{2}\right)$ до точки $(0;a)$ имеет длину $\frac{a}{2}-a=-\frac{a}{2}$, высоты $\frac{1}{3}$ и $1$, поэтому $S=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)\cdot \frac{4}{3}=-\frac{a}{3}$.

Условие задачи: $6<-\frac{a}{3}⩽12$, то есть $18<-a⩽36$, $-36⩽a<-18$.

Объединим оба случая.

Ответ: $a\in [-36;-18)\cup (2;4]$.