ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $u=1-(x+a+1{)}^2$, $v=2^{|x-a|}$. Тогда $2^{3|x-a|}=v^3$, $2^{2|x-a|}=v^2$, и уравнение принимает вид

$$u^3-u^2=v^3-v^2;u^2(u-1)=v^2(v-1).$$

Оценим обе части.

Так как $(x+a+1{)}^2⩾0$, имеем $u⩽1$. Тогда $u-1⩽0$, $u^2⩾0$, и левая часть $u^2(u-1)⩽0$.

Так как $|x-a|⩾0$, а функция $2^t$ возрастает, имеем $v⩾2^0=1$. Тогда $v-1⩾0$, $v^2>0$, и правая часть $v^2(v-1)⩾0$.

Неположительное число равно неотрицательному только тогда, когда оба равны нулю. Значит, уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{u}^2(u-1)=0,\\ v^2(v-1)=0.\end{array}$$

Так как $v^2>0$, второе уравнение даёт $v=1$, то есть $2^{|x-a|}=1$, $|x-a|=0$, $x=a$. Первое уравнение даёт $u=0$ или $u=1$. Подставим $x=a$: $u=1-(a+a+1{)}^2=1-(2a+1{)}^2$.

Случай $u=1$:

$$1-(2a+1{)}^2=1;(2a+1{)}^2=0;a=-\frac{1}{2}.$$

Случай $u=0$:

$$1-(2a+1{)}^2=0;(2a+1{)}^2=1;[\begin{array}{l}2a+1=1,\\ 2a+1=-1,\end{array}[\begin{array}{l}a=0,\\ a=-1.\end{array}$$

Итак, при $a\in \left\{-1;-\frac{1}{2};0\right\}$ уравнение имеет решение $x=a$, а при остальных $a$ решений нет: равенство $x=a$ обязательно, но тогда $u\notin \{0;1\}$.

Ответ: $a\in \left\{-1;-\frac{1}{2};0\right\}$.