ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Функция $f$ непрерывна на всей прямой и при $x\to \pm \infty$ стремится к $+\infty$ (так как $|x^2-x-2|⩾x^2-x-2$), поэтому наименьшее значение у неё существует. Оно меньше $-2$ тогда и только тогда, когда неравенство $f(x)<-2$ имеет хотя бы одно решение. Действительно, если наименьшее значение меньше $-2$, то в точке минимума $f(x)<-2$; обратно, если $f(x_0)<-2$, то наименьшее значение не больше $f(x_0)<-2$.

Перепишем неравенство $f(x)<-2$:

$$ax-2a-1+|x^2-x-2|<-2;|x^2-x-2|+1<a(2-x).$$

Обозначим $h(x)=|x^2-x-2|+1$ и $g(x)=a(2-x)$. Решим задачу графически на плоскости $xOy$: нужно, чтобы прямая $y=g(x)$ хотя бы в одной точке проходила строго выше графика $y=h(x)$.

График $h$. Так как $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ отрицательно только при $-1<x<2$, получаем

$$h(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x-1,& x⩽-1\text{или}x⩾2,\\ -x^2+x+3,& -1<x<2.\end{array}$$

График получается из параболы $y=x^2-x-2$ отражением её части между нулями $-1$ и $2$ вверх и сдвигом на $1$ вверх: $h(-1)=h(2)=1$, вершина «арки» — точка $\left(\frac{1}{2};\frac{13}{4}\right)$.

Прямые $y=g(x)$. Они проходят через точку $(2;0)$ с угловым коэффициентом $-a$; вертикальная прямая $x=2$ не получается ни при каком $a$. В самой точке $x=2$ имеем $h(2)=1>0=g(2)$, поэтому решения надо искать при $x<2$ и при $x>2$.

Решения левее точки $2$. При $x<2$ множитель $2-x$ положителен. Если $a⩽0$, то $g(x)⩽0<h(x)$ — решений нет. Пусть $a>0$; тогда прямая проходит через точки $(2;0)$ и $(-1;3a)$.

Граничное положение — прямая проходит через «угол» графика $(-1;1)$: $3a=1$, $a=\frac{1}{3}$.

Если $a>\frac{1}{3}$, то $g(-1)=3a>1=h(-1)$, и $x=-1$ — решение неравенства.

Если $0<a⩽\frac{1}{3}$, то при $x<2$ верно $g(x)⩽\frac{2-x}{3}$. Покажем, что прямая $y=\frac{2-x}{3}$ на этом луче нигде не проходит выше графика $h$:

при $-1⩽x<2$: $h(x)-\frac{2-x}{3}=-x^2+\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}=-\frac{(3x-7)(x+1)}{3}⩾0$, так как $x+1⩾0$, $3x-7<0$;

при $x<-1$: $h(x)-\frac{2-x}{3}=x^2-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=\frac{(3x-5)(x+1)}{3}>0$, так как оба множителя отрицательны.

Значит, при $a⩽\frac{1}{3}$ левее точки $2$ решений нет. При $a=\frac{1}{3}$ прямая лишь проходит через точку $(-1;1)$ графика, а неравенство строгое, поэтому это значение не подходит.

Решения правее точки $2$. При $x>2$ множитель $2-x$ отрицателен. Если $a⩾0$, то $g(x)⩽0<h(x)$ — решений нет. Пусть $a<0$. На луче $x>2$ имеем $h(x)=x^2-x-1$, и неравенство принимает вид

$$x^2-x-1<a(2-x);q(x)=x^2+(a-1)x-(2a+1)<0.$$

Заметим, что $q(2)=4+2a-2-2a-1=1>0$. Ветви параболы $y=q(x)$ направлены вверх, поэтому $q$ принимает отрицательные значения при каком-то $x>2$ тогда и только тогда, когда у неё два различных корня, и оба больше $2$ (корни лежат по одну сторону от $2$, так как $q(2)>0$), то есть когда $D>0$ и абсцисса вершины $x_{\text{в}}=\frac{1-a}{2}>2$.

$$D=(a-1{)}^2+4(2a+1)=a^2+6a+5=(a+1)(a+5)>0\iff a<-5\text{или}a>-1;$$

$$\frac{1-a}{2}>2\iff a<-3.$$

Вместе получаем $a<-5$. При $a=-5$ имеем $q(x)=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$: прямая $y=5x-10$ касается правой ветви в точке $(3;5)$, а строгое неравенство $(x-3{)}^2<0$ решений не имеет. Это второе граничное положение.

То же значение даёт условие касания через производную: $-a=2x-1$ и $-a(x-2)=x^2-x-1$, откуда $a^2+6a+5=0$, то есть $a=-5$ (точка касания $x=3$) или $a=-1$ (точка $x=1$ не лежит на ветви $x⩾2$, этот случай не подходит).

Изобразим график $y=h(x)$ и граничные положения прямой пунктиром.

Итак, неравенство $f(x)<-2$ имеет решение при $a>\frac{1}{3}$ (решения левее точки $2$) и при $a<-5$ (решения правее точки $2$), а при $-5⩽a⩽\frac{1}{3}$ решений нет.

Ответ: $a\in (-\infty ;-5)\cup \left(\frac{1}{3};+\infty \right)$.