ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

ОДЗ первого уравнения: $y-2x+12⩾0$, то есть $y⩾2x-12$. На ОДЗ произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}xy-2x+12=0,\\ y-2x+12=0,\end{array}\\ y⩾2x-12.\end{array}$$

Уравнение $y-2x+12=0$ задаёт прямую $\ell :y=2x-12$. На ней ОДЗ выполнено (как равенство), поэтому в множество входит вся прямая $\ell$.

В уравнении $xy-2x+12=0$ значение $x=0$ невозможно (получилось бы $12=0$), поэтому $y=2-\frac{12}{x}$ — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$. Наложим условие ОДЗ:

$$2-\frac{12}{x}⩾2x-12;\frac{-2x^2+14x-12}{x}⩾0;\frac{(x-1)(x-6)}{x}⩽0.$$

Решим последнее неравенство методом интервалов:

Получаем $x<0$ или $1⩽x⩽6$. Значит, от гиперболы остаются вся левая ветвь и дуга правой ветви с концами $A(1;-10)$ и $B(6;0)$. Оба конца лежат на $\ell$: $2\cdot 1-12=-10$, $2\cdot 6-12=0$. Других общих точек с $\ell$ у гиперболы нет — неравенство обращается в равенство только при $x=1$ и $x=6$.

Второе уравнение $y=ax-10$ задаёт прямую $m_a$, проходящую через точку $P(0;-10)$ с угловым коэффициентом $a$ (все невертикальные прямые через $P$). Число решений системы равно числу общих точек прямой $m_a$ с объединением прямой $\ell$, левой ветви и дуги $AB$.

Пересечение с прямой $\ell$. Из $ax-10=2x-12$ получаем $(2-a)x=2$. При $a=2$ решений нет: прямые параллельны и не совпадают (точки пересечения с осью $Oy$ разные: $-10$ и $-12$). При $a\ne 2$ общая точка одна — $M$ с абсциссой $x_M=\frac{2}{2-a}$.

Пересечение с гиперболой. Подставим $y=ax-10$ в уравнение $xy-2x+12=0$:

$$x(ax-10)-2x+12=0;h(x)=a{x}^2-12x+12=0.$$

Нам нужны корни с $x<0$ или $1⩽x⩽6$. Заметим, что $h(0)=12$, $h(1)=a$, $h(6)=36a-60$.

При $a=0$: $-12x+12=0$, $x=1$ — это точка $A(1;-10)$.

При $a<0$: произведение корней $\frac{12}{a}<0$, значит, корни разных знаков. Отрицательный корень даёт точку левой ветви. Положительный корень лежит на интервале $(0;1)$, так как $h(0)=12>0$, а $h(1)=a<0$; там точек нашего множества нет. Итого одна общая точка — на левой ветви.

При $a>0$ дискриминант $\frac{D}{4}=36-12a$.

Если $a>3$, корней нет.

Если $a=3$, корень один: $x=2$. Это касание прямой $y=3x-10$ и гиперболы в точке $T(2;-4)$, причём $1⩽2⩽6$ — точка на дуге.

Если $0<a<3$, корней два, и оба положительны (их сумма и произведение равны $\frac{12}{a}>0$), так что левая ветвь не задета. Ветви параболы $h$ направлены вверх, вершина $x=\frac{6}{a}>2$.

При $0<a<\frac{5}{3}$: $h(1)=a>0$, $h(6)=36a-60<0$, поэтому ровно один корень лежит на интервале $(1;6)$, а второй больше $6$. На дуге одна точка, и это не её конец.

При $a=\frac{5}{3}$: $h(6)=0$, то есть $x=6$ — корень, а по теореме Виета второй корень равен $\frac{12}{a}:6=\frac{36}{5}:6=\frac{6}{5}\in [1;6]$. На дуге две точки: $\left(\frac{6}{5};-8\right)$ и $B(6;0)$.

При $\frac{5}{3}<a<3$: $h(1)>0$, $h(6)>0$, вершина $\frac{6}{a}\in \left(2;\frac{18}{5}\right)$ лежит внутри $(1;6)$, а дискриминант положителен. Поэтому оба корня лежат на интервале $(1;6)$ — на дуге две точки, и обе не концы.

Совпадения. Точка гиперболы может совпасть с точкой $M\in \ell$, только если это $A$ или $B$. $M=A$ при $\frac{2}{2-a}=1$, то есть $a=0$; $M=B$ при $\frac{2}{2-a}=6$, то есть $a=\frac{5}{3}$.

Граничные положения прямой: через $A$ при $a=0$, через $B$ при $a=\frac{5}{3}$, параллельно $\ell$ при $a=2$, касание при $a=3$. Изобразим их пунктиром.

Разберём все случаи.

При $a<0$ — точка $M$ с абсциссой $\frac{2}{2-a}\in (0;1)$ и точка левой ветви с отрицательной абсциссой. Они различны — два решения.

При $a=0$ — единственная точка гиперболы $A$, и она же есть $M$. Одно решение.

При $0<a<\frac{5}{3}$ — точка $M$ и одна точка дуги, не являющаяся её концом, а значит, не лежащая на $\ell$. Они различны — два решения.

При $a=\frac{5}{3}$ — точки дуги $\left(\frac{6}{5};-8\right)$ и $B$, а точка $M$ совпадает с $B$ — два решения.

При $\frac{5}{3}<a<2$ — точка $M$ и две внутренние точки дуги, все различны — три решения.

При $a=2$ точки $M$ нет, остаются две внутренние точки дуги — два решения.

При $2<a<3$ — точка $M$ (с отрицательной абсциссой) и две внутренние точки дуги — три решения.

При $a=3$ — точка касания $T(2;-4)$ и точка $M$ с абсциссой $\frac{2}{2-3}=-2$, то есть $M(-2;-16)$ — два решения.

При $a>3$ с гиперболой общих точек нет, остаётся только $M$ — одно решение.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \left(0;\frac{5}{3}\right]\cup \{2;3\}$.