ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Из второго уравнения $a=x+y$, поэтому $|a|=|x+y|$, и система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=6|x-y|+6|x+y|,\\ x+y=a.\end{array}$$

Теперь первое уравнение не содержит параметра и задаёт фиксированную фигуру $\Phi$, а второе — прямую $m_a:y=a-x$ с угловым коэффициентом $-1$, которая с ростом $a$ сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек $m_a$ и $\Phi$.

Строим фигуру $\Phi$. Выражения под модулями меняют знак на прямых $y=x$ и $y=-x$, которые делят плоскость на четыре угла. Раскроем модули в каждом из них.

1. $x-y⩾0$, $x+y⩾0$ (правый угол, $|y|⩽x$):

$$x^2+y^2=6(x-y)+6(x+y);x^2-12x+y^2=0;(x-6{)}^2+y^2=36.$$

Это окружность с центром $(6;0)$ и радиусом $6$.

2. $x-y<0$, $x+y⩾0$ (верхний угол):

$$x^2+y^2=-6(x-y)+6(x+y);x^2+y^2-12y=0;x^2+(y-6{)}^2=36.$$

3. $x-y⩾0$, $x+y<0$ (нижний угол):

$$x^2+y^2=6(x-y)-6(x+y);x^2+y^2+12y=0;x^2+(y+6{)}^2=36.$$

4. $x-y<0$, $x+y<0$ (левый угол):

$$x^2+y^2=-6(x-y)-6(x+y);x^2+y^2+12x=0;(x+6{)}^2+y^2=36.$$

Выясним, какая часть окружности попадает в свой угол. В случае 1 окружность $(x-6{)}^2+y^2=36$ пересекает прямые $y=\pm x$ при $x^2-12x+x^2=0$, то есть в точках $O(0;0)$, $(6;6)$ и $(6;-6)$. Точки правой полуокружности ($x⩾6$) удовлетворяют условию $|y|⩽6⩽x$ и лежат в угле. Для точек левой дуги с $0<x<6$ имеем $y^2=12x-x^2>x^2$, так как $12x-2x^2=2x(6-x)>0$; значит, $|y|>x$, и эти точки в угол не попадают. Кроме того, в угле лежит точка $O$.

Итак, в случае 1 получаем правую полуокружность с концами $(6;-6)$ и $(6;6)$, проходящую через $(12;0)$, и точку $O$. Совершенно так же в остальных случаях получаем верхнюю полуокружность окружности с центром $(0;6)$ (от $(-6;6)$ до $(6;6)$ через $(0;12)$), нижнюю полуокружность с центром $(0;-6)$ (от $(-6;-6)$ до $(6;-6)$ через $(0;-12)$), левую полуокружность с центром $(-6;0)$ (от $(-6;-6)$ до $(-6;6)$ через $(-12;0)$) и снова точку $O$.

Значит, $\Phi$ — замкнутая линия из четырёх полуокружностей, которые стыкуются в точках $(6;6)$, $(-6;6)$, $(-6;-6)$, $(6;-6)$, и отдельная точка $O(0;0)$.

Симметрия. Если поменять местами $x$ и $y$, система не изменится: $|y-x|=|x-y|$, а выражения $x^2+y^2$ и $x+y$ симметричны. Поэтому вместе с решением $(x_0;y_0)$ система имеет решение $(y_0;x_0)$. Геометрически: фигура $\Phi$ симметрична относительно прямой $y=x$, а прямая $m_a$ ей перпендикулярна и при симметрии переходит в себя.

Решения с $x_0\ne y_0$ разбиваются на пары различных решений, поэтому число решений нечётно тогда и только тогда, когда нечётно число решений вида $(t;t)$.

Решения вида $(t;t)$. Подставим $x=y=t$:

$$\{\begin{array}{l}2t^2=6\cdot 0+6|2t|,\\ 2t=a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{t}^2=6|t|,\\ t=\frac{a}{2}.\end{array}$$

Уравнение $t^2=6|t|$ равносильно $|t|\left(|t|-6\right)=0$, то есть $t\in \{0;6;-6\}$: на прямой $y=x$ лежат ровно три точки фигуры — $O(0;0)$, $(6;6)$ и $(-6;-6)$. Прямая $m_a$ пересекает прямую $y=x$ в одной точке $\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, поэтому решение вида $(t;t)$ при каждом $a$ не более чем одно, и оно есть тогда и только тогда, когда $\frac{a}{2}\in \{0;6;-6\}$:

$$a=0,a=12,a=-12.$$

При этих $a$ число решений равно $1+2k$ — нечётно. При остальных $a$ решений вида $(t;t)$ нет, и число решений чётно (в том числе может быть равно нулю). Число решений всегда конечно: прямая пересекает каждую из четырёх окружностей не более чем в двух точках.

Граничные положения — прямые через точки $(-6;-6)$, $O$ и $(6;6)$. Изобразим их пунктиром, тонкой линией — ось симметрии $y=x$.

Проверим, например, $a=12$. Подставим $y=12-x$ в уравнения окружностей. Окружность с центром $(6;0)$: $(x-6{)}^2+(12-x{)}^2=36$, $x^2-18x+72=0$, $x=6$ или $x=12$ — точки $(6;6)$ и $(12;0)$ правой полуокружности. Окружность с центром $(0;6)$: $x^2+(6-x{)}^2=36$, $x^2-6x=0$ — точки $(0;12)$ и $(6;6)$ верхней полуокружности. С двумя другими окружностями общих точек нет: получаются уравнения $x^2-18x+144=0$ и $x^2-6x+72=0$ с отрицательными дискриминантами. Точка $O$ на прямой $x+y=12$ не лежит. Итого три решения: $(0;12)$, $(6;6)$, $(12;0)$.

Замена $(x;y)\to (-x;-y)$ переводит фигуру $\Phi$ в себя, а прямую $x+y=12$ — в прямую $x+y=-12$, поэтому при $a=-12$ тоже три решения: $(0;-12)$, $(-6;-6)$, $(-12;0)$. При $a=0$ прямая $y=-x$ пересекает каждую из четырёх окружностей в точке $O$ и в одной из точек $(6;-6)$, $(-6;6)$ (например, для окружности с центром $(6;0)$ получаем $(x-6{)}^2+x^2=36$, $x^2-6x=0$). Значит, решений тоже три: $O(0;0)$, $(6;-6)$, $(-6;6)$.

Ответ: $a\in \{-12;0;12\}$.