ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть и для краткости обозначим $b=a+3$:

$$x^2-|x+b|-|x-b|+b^2=0.$$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2-|x+b|-|x-b|+b^2$. Она определена при всех $x$ и чётна:

$$f(-x)=x^2-|-x+b|-|-x-b|+b^2=x^2-|x-b|-|x+b|+b^2=f(x).$$

Поэтому если $x_0$ — корень уравнения, то и $-x_0$ — корень. При $x_0\ne 0$ это два различных корня. Значит, если корень единственный, то это $x=0$. Получаем необходимое условие: $f(0)=0$.

$$f(0)=-|b|-|-b|+b^2=b^2-2|b|=|b|\left(|b|-2\right)=0.$$

Отсюда $|b|=0$ или $|b|=2$, то есть $a+3=0$ или $a+3=\pm 2$:

$$a=-3,a=-1,a=-5.$$

Условие $f(0)=0$ только необходимое: при найденных $a$ корень $x=0$ есть, но могут быть и другие корни. Проверим каждое значение.

$a=-3$, то есть $b=0$. Уравнение принимает вид

$$x^2-2|x|=0;|x|\left(|x|-2\right)=0;x=0,x=\pm 2.$$

Корней три — значение не подходит.

$a=-1$ и $a=-5$, то есть $b=\pm 2$. В обоих случаях $b^2=4$, а сумма $|x+b|+|x-b|$ равна $|x+2|+|x-2|$. Поэтому оба значения дают одно и то же уравнение

$$x^2+4=|x+2|+|x-2|.$$

Раскроем модули на трёх промежутках.

При $-2⩽x⩽2$: $|x+2|+|x-2|=(x+2)+(2-x)=4$, уравнение $x^2+4=4$ даёт $x=0$ — подходит.

При $x>2$: $|x+2|+|x-2|=2x$, уравнение $x^2-2x+4=0$ имеет дискриминант $\frac{D}{4}=1-4<0$ — корней нет.

При $x<-2$: $|x+2|+|x-2|=-2x$, уравнение $x^2+2x+4=0$, $\frac{D}{4}=1-4<0$ — корней нет.

Итак, при $a=-1$ и $a=-5$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: $a\in \{-5;-1\}$.