ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Применим формулу синуса тройного угла $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ и вынесем $\sin x$ за скобки:

$$3\sin x-4{\sin }^{3}x+a\sin x=0;\sin x\left(3+a-4{\sin }^{2}x\right)=0.$$

На промежутке $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ выполнено $\sin x>0$, поэтому первый множитель в нуль не обращается. Значит, на этом промежутке уравнение равносильно уравнению

$$4{\sin }^{2}x=a+3.$$

Найдём, какие значения принимает левая часть при $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$. На этом промежутке синус непрерывен, положителен и возрастает, поэтому

$$0<\sin x<\frac{\sqrt{2}}{2};0<{\sin }^{2}x<\frac{1}{2};0<4{\sin }^{2}x<2.$$

Функция $4{\sin }^{2}x$ на этом промежутке непрерывна и возрастает, при $x\to 0$ её значения стремятся к $0$, а при $x\to \frac{\pi }{4}$ — к $2$. Поэтому она принимает каждое значение из интервала $(0;2)$ и никаких других значений.

Следовательно, уравнение имеет решение на $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ тогда и только тогда, когда $0<a+3<2$, то есть $-3<a<-1$. Решений нет, когда число $a+3$ не попадает в интервал $(0;2)$:

$$[\begin{array}{l}a+3⩽0,\\ a+3⩾2\end{array}\iff [\begin{array}{l}a⩽-3,\\ a⩾-1.\end{array}$$

Проверим граничные значения. При $a=-3$ уравнение сводится к $\sin x=0$, а на $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ синус в нуль не обращается — решений нет. При $a=-1$ получаем ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$, то есть $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $\sin x>0$; на промежутке $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ это не выполняется, так как точка $\frac{\pi }{4}$ в него не входит — решений нет. Оба значения входят в ответ.

Ответ: $a\in (-\infty ;-3]\cup [-1;+\infty )$.