ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе $f(x)=g^2(x)$, $g(x)⩾0$: корень неотрицателен, поэтому правая часть должна быть неотрицательной, а неотрицательность подкоренного выражения следует из равенства $f(x)=g^2(x)$.

Раскроем скобки под корнем: $9x^4+2x^2(11x+4)-a\left(4x^2-a\right)=9x^4+22x^3+8x^2-4a{x}^2+a^2$. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}9x^4+22x^3+8x^2-4a{x}^2+a^2={\left(3x^2+4x-a\right)}^2,\\ 3x^2+4x-a⩾0.\end{array}$$

Раскроем квадрат трёхчлена:

$${\left(3x^2+4x-a\right)}^2=9x^4+16x^2+a^2+24x^3-6a{x}^2-8ax.$$

Подставим в уравнение и приведём подобные: $x^4$ и $a^2$ сокращаются, остаётся

$$0=2x^3+8x^2-2a{x}^2-8ax;x^3+4x^2-a{x}^2-4ax=0.$$

Вынесем $x$ и сгруппируем:

$$x\left(x(x+4)-a(x+4)\right)=0;x(x+4)(x-a)=0.$$

Значит, корнями исходного уравнения могут быть только числа $x=0$, $x=-4$ и $x=a$. Каждое из них является корнем тогда и только тогда, когда для него выполнено неравенство $g(x)=3x^2+4x-a⩾0$. Исходное уравнение имеет ровно три различных корня тогда и только тогда, когда все три числа подходят и попарно различны.

Проверим неравенство для каждого числа:

$$g(0)=-a⩾0\iff a⩽0;$$

$$g(-4)=48-16-a=32-a⩾0\iff a⩽32;$$

$$g(a)=3a^2+4a-a=3a(a+1)⩾0\iff a⩽-1\text{ или }a⩾0.$$

Все три условия вместе дают $a⩽-1$ или $a=0$.

Различность: $a\ne 0$ (иначе совпадают корни $a$ и $0$), $a\ne -4$ (иначе совпадают $a$ и $-4$), а числа $0$ и $-4$ различны всегда. Исключаем $a=0$ и $a=-4$.

Например, при $a=-1$ корни $0$, $-1$, $-4$, причём $g(-1)=3-4+1=0$ — неравенство выполнено, значит, значение $a=-1$ входит в ответ. При $a=-4$ корней только два: $0$ и $-4$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-4)\cup (-4;-1]$.