ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Разбор — 4 балла

Нас интересуют только $x\in [3;4]$. На этом отрезке $x>0$ и $x-1⩾2>0$, поэтому все преобразования ниже равносильны.

Выразим $a$ из каждого неравенства. В первом разделим обе части на $x>0$ — знак неравенства сохраняется. Во втором корень определён, просто перепишем неравенство справа налево. В третьем перенесём $11$ и разделим на $2$:

$$\{\begin{array}{ll}a⩾\frac{2}{x},& (1)\\ a<\sqrt{x-1},& (2)\\ a⩾\frac{3x-11}{2}.& (3)\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. Обозначим через $\Phi$ множество точек $(x;a)$, у которых $3⩽x⩽4$ и выполнены все три неравенства. Значение $a$ подходит тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая на высоте $a$ имеет с $\Phi$ хотя бы одну общую точку. Иначе говоря, ответ — это проекция $\Phi$ на ось $a$.

Неравенство (1) задаёт точки на ветви гиперболы $a=\frac{2}{x}$ и выше неё, неравенство (2) — точки строго ниже графика $a=\sqrt{x-1}$, неравенство (3) — точки на прямой $a=\frac{3x-11}{2}$ и выше неё.

Неравенство (3) лишнее. Найдём общие точки гиперболы и прямой:

$$\frac{3x-11}{2}=\frac{2}{x};3x^2-11x-4=0;D=121+48=169=13^2;x=\frac{11\pm 13}{6}.$$

Корни $x=4$ и $x=-\frac{1}{3}$, в полосу попадает только точка $\left(4;\frac{1}{2}\right)$. Более того, при $3⩽x⩽4$

$$\frac{2}{x}⩾\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{3x-11}{2}⩽\frac{3\cdot 4-11}{2}=\frac{1}{2},$$

то есть прямая лежит не выше гиперболы. Значит, в полосе из (1) следует (3), и неравенство (3) можно не учитывать.

Гипербола ниже графика корня. Функция $\frac{2}{x}$ при $x>0$ убывает, а $\sqrt{x-1}$ возрастает, поэтому их графики пересекаются только в одной точке — это точка $(2;1)$. Правее неё гипербола лежит ниже графика корня; на отрезке $[3;4]$ это видно и непосредственно:

$$\frac{2}{x}⩽\frac{2}{3}<1<\sqrt{2}⩽\sqrt{x-1}.$$

Значит, при каждом $x\in [3;4]$ подходят значения $a$ из непустого промежутка

$$\frac{2}{x}⩽a<\sqrt{x-1},$$

а $\Phi$ — криволинейная трапеция: снизу её ограничивает дуга гиперболы (входит), сверху — дуга графика корня (не входит), с боков — отрезки прямых $x=3$ и $x=4$.

Проекция на ось $a$. На $[3;4]$ нижняя граница $\frac{2}{x}$ убывает от $\frac{2}{3}$ до $\frac{1}{2}$, а верхняя граница $\sqrt{x-1}$ возрастает от $\sqrt{2}$ до $\sqrt{3}$. Поэтому промежуток при $x=4$, то есть $\frac{1}{2}⩽a<\sqrt{3}$, содержит промежутки при всех остальных $x$. Обоснуем граничные значения.

При $\frac{1}{2}⩽a<\sqrt{3}$ подходит $x=4$: $4a⩾2$, $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}>a$, $3\cdot 4=12⩽2a+11$, так как $2a⩾1$. В частности, значение $a=\frac{1}{2}$ подходит.

При $a<\frac{1}{2}$ решений нет: из (1) следует $a⩾\frac{2}{x}⩾\frac{1}{2}$ — противоречие.

При $a⩾\sqrt{3}$ решений нет: из (2) следует $a<\sqrt{x-1}⩽\sqrt{3}$ — противоречие. Значение $\sqrt{3}$ достигается только на верхней границе при $x=4$, а она в $\Phi$ не входит.

Изобразим $\Phi$ и граничные положения горизонтальной прямой пунктиром; вертикальная ось на рисунке — ось $a$, тонкая прямая — $a=\frac{3x-11}{2}$.

Ответ: $a\in \left[\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$.