ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе $f(x)=g^2(x)$, $g(x)⩾0$. Арифметический корень неотрицателен, поэтому правая часть обязана быть неотрицательной, а при возведении в квадрат двух неотрицательных частей посторонние корни не появляются. Условие $f(x)⩾0$ отдельно писать не нужно: оно следует из равенства $f(x)=g^2(x)$.

$$\{\begin{array}{l}{x}^4-4x^2+a^2={\left(x^2+2x-a\right)}^2,\\ x^2+2x-a⩾0.\end{array}$$

Раскроем квадрат трёхчлена:

$${\left(x^2+2x-a\right)}^2=x^4+4x^2+a^2+4x^3-2a{x}^2-4ax.$$

Тогда уравнение системы принимает вид

$$x^4-4x^2+a^2=x^4+4x^3+(4-2a)x^2-4ax+a^2;$$

$$4x^3+(8-2a)x^2-4ax=0;2x^3+(4-a)x^2-2ax=0;x\left(2x^2+(4-a)x-2a\right)=0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена в скобках. Его дискриминант

$$D=(4-a{)}^2+16a=a^2+8a+16=(a+4{)}^2,$$

поэтому

$$x=\frac{a-4\pm (a+4)}{4};x=\frac{a}{2}\text{или}x=-2.$$

То же получается группировкой: $2x^2+4x-ax-2a=2x(x+2)-a(x+2)=(x+2)(2x-a)$.

Итак, уравнение системы имеет корни $x=0$, $x=-2$ и $x=\frac{a}{2}$, и других корней у исходного уравнения быть не может. Каждый из них является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда для него выполнено неравенство $g(x)=x^2+2x-a⩾0$. Проверим:

$$g(0)=-a⩾0\iff a⩽0;$$

$$g(-2)=4-4-a=-a⩾0\iff a⩽0;$$

$$g\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{a^2}{4}+a-a=\frac{a^2}{4}⩾0\text{при любом }a.$$

При $a>0$ числа $0$ и $-2$ не подходят, остаётся один корень $x=\frac{a}{2}$ — такие $a$ не подходят.

При $a⩽0$ подходят все три числа, и корней ровно три, если они попарно различны. Условие $\frac{a}{2}\ne 0$ даёт $a\ne 0$, условие $\frac{a}{2}\ne -2$ даёт $a\ne -4$, а числа $0$ и $-2$ различны всегда.

При $a=0$ и при $a=-4$ остаются только два различных корня $0$ и $-2$. При остальных $a<0$ корней ровно три.

Ответ: $a\in (-\infty ;-4)\cup (-4;0)$.