ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $xOy$.

Первое уравнение содержит корень, поэтому его ОДЗ: $x-y+3⩾0$, то есть $y⩽x+3$. На ОДЗ оба множителя определены, а произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=x^2-5x+3,\\ \sqrt{x-y+3}=0,\end{array}\\ y⩽x+3.\end{array}$$

Уравнение $\sqrt{x-y+3}=0$ даёт $y=x+3$. Во всех точках этой прямой $x-y+3=0$, то есть ОДЗ выполнено, поэтому в множество входит вся прямая $\ell :y=x+3$.

Для точек параболы $y=x^2-5x+3$ условие ОДЗ принимает вид

$$x^2-5x+3⩽x+3;x^2-6x⩽0;x(x-6)⩽0;0⩽x⩽6.$$

Значит, от параболы остаётся дуга $\omega$ с абсциссами от $0$ до $6$. При $x=0$ и $x=6$ неравенство обращается в равенство, поэтому концы дуги $A(0;3)$ и $B(6;9)$ лежат на прямой $\ell$, а других общих точек с $\ell$ у параболы нет. Вершина параболы $\left(\frac{5}{2};-\frac{13}{4}\right)$ лежит на дуге.

Итак, первое уравнение задаёт объединение прямой $\ell$ и дуги $\omega$.

Второе уравнение $y=3x+a$ задаёт семейство параллельных прямых $m_a$ с угловым коэффициентом $3$; с ростом $a$ прямая сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек прямой $m_a$ с объединением $\ell \cup \omega$.

Пересечение с прямой $\ell$. Угловые коэффициенты $3$ и $1$ различны, поэтому при любом $a$ прямые $m_a$ и $\ell$ пересекаются ровно в одной точке $M$:

$$3x+a=x+3;x_M=\frac{3-a}{2}.$$

Пересечение с дугой $\omega$. Подставим $y=3x+a$ в уравнение параболы:

$$x^2-5x+3=3x+a;x^2-8x+3-a=0;\frac{D}{4}=16-(3-a)=13+a.$$

При $a<-13$ корней нет — общих точек с дугой нет.

При $a=-13$ корень один: $x=4$. Это касание прямой $y=3x-13$ и параболы в точке $T(4;-1)$; так как $0⩽4⩽6$, точка $T$ лежит на дуге.

При $a>-13$ корни $x_1=4-\sqrt{13+a}$ и $x_2=4+\sqrt{13+a}$. Выясним, какие из них лежат на отрезке $[0;6]$.

Больший корень $x_2>4>0$, а условие $x_2⩽6$ равносильно $\sqrt{13+a}⩽2$, то есть $13+a⩽4$, $a⩽-9$.

Меньший корень $x_1<4<6$, а условие $x_1⩾0$ равносильно $\sqrt{13+a}⩽4$, то есть $a⩽3$.

Получаем: при $-13<a⩽-9$ на дуге две общие точки, при $-9<a⩽3$ — одна (с абсциссой $x_1$), при $a>3$ — ни одной.

Совпадения. Точка дуги может совпасть с точкой $M\in \ell$, только если это конец дуги. $M=B$ при $\frac{3-a}{2}=6$, то есть при $a=-9$; $M=A$ при $\frac{3-a}{2}=0$, то есть при $a=3$.

Получили граничные положения прямой: I — касание при $a=-13$, II — прохождение через $B$ при $a=-9$, III — прохождение через $A$ при $a=3$. Изобразим их пунктиром.

Разберём все случаи.

При $a<-13$ есть только точка $M$ — одно решение.

При $a=-13$ — точка $M(8;11)$ и точка касания $T(4;-1)$, они различны. Итого два решения.

При $-13<a<-9$ — точка $M$ и две точки дуги с абсциссами строго между $0$ и $6$. Такие точки не лежат на $\ell$, поэтому все три точки различны — три решения.

При $a=-9$ корни $x=4\pm 2$: прямая $y=3x-9$ проходит через точки дуги $(2;-3)$ и $B(6;9)$. Точка $M$ совпадает с $B$, поэтому различных точек две — два решения.

При $-9<a<3$ имеем $2<\sqrt{13+a}<4$, поэтому единственная точка дуги имеет абсциссу $x_1\in (0;2)$. Это не конец дуги, значит, она не лежит на $\ell$ и отлична от $M$ — два решения.

При $a=3$ единственная точка дуги — $x_1=0$, то есть $A$, и она же есть $M$. Одно решение.

При $a>3$ общих точек с дугой нет, остаётся только $M$ — одно решение.

Ответ: $a\in \{-13\}\cup [-9;3)$.