ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Разложим трёхчлен под корнем в правой части. По теореме Виета сумма его корней равна $\frac{6a+3}{6}=a+\frac{1}{2}$, а произведение $\frac{3a}{6}=\frac{a}{2}$. Значит, корни — числа $a$ и $\frac{1}{2}$, и

$$6x^2-(6a+3)x+3a=6(x-a)\left(x-\frac{1}{2}\right)=(x-a)(6x-3).$$

Уравнение принимает вид

$$x\sqrt{x-a}=\sqrt{(x-a)(6x-3)}.$$

ОДЗ: $x-a⩾0$ и $(x-a)(6x-3)⩾0$.

Случай $x=a$. Обе части равны нулю, ОДЗ выполнено. Значит, $x=a$ — корень уравнения при любом $a$.

Случай $x>a$. Тогда $x-a>0$, и из ОДЗ следует $6x-3⩾0$. Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней, поэтому уравнение принимает вид $x\sqrt{x-a}=\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{6x-3}$. Разделим на $\sqrt{x-a}>0$:

$$x=\sqrt{6x-3}\iff \{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x^2=6x-3.\end{array}$$

Условие $6x-3⩾0$ здесь выполнено автоматически, так как $6x-3=x^2$. Решаем квадратное уравнение: $x^2-6x+3=0$, $x=3\pm \sqrt{6}$. Оба корня положительны. Они являются корнями исходного уравнения, если $x>a$.

Итак, корни уравнения:

$x_1=a$ — при любом $a$;

$x_2=3-\sqrt{6}$ — при $a<3-\sqrt{6}$;

$x_3=3+\sqrt{6}$ — при $a<3+\sqrt{6}$.

Отбор корней на отрезке $[0;1]$.

Корень $x_3=3+\sqrt{6}>1$ не лежит на отрезке ни при каком $a$.

Корень $x_2=3-\sqrt{6}$ лежит на отрезке: $0⩽3-\sqrt{6}⩽1$ равносильно $2⩽\sqrt{6}⩽3$, то есть $4⩽6⩽9$ — верно. Значит, $x_2$ — корень на отрезке тогда и только тогда, когда $a<3-\sqrt{6}$.

Корень $x_1=a$ лежит на отрезке при $0⩽a⩽1$.

Корни $x_1$ и $x_2$ могли бы совпасть только при $a=3-\sqrt{6}$, но при этом значении $x_2$ корнем не является. Поэтому если подходят оба, это два разных корня.

Ровно один корень на отрезке получается в двух случаях.

1. Подходит $x_1$, не подходит $x_2$:

$$\{\begin{array}{l}0⩽a⩽1,\\ a⩾3-\sqrt{6}\end{array}\iff 3-\sqrt{6}⩽a⩽1,$$

так как $0<3-\sqrt{6}<1$.

2. Не подходит $x_1$, подходит $x_2$:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a<0,\\ a>1,\end{array}\\ a<3-\sqrt{6}\end{array}\iff a<0.$$

При $0⩽a<3-\sqrt{6}$ на отрезке два корня, при $a>1$ — ни одного.

Ответ: $a\in (-\infty ;0)\cup \left[3-\sqrt{6};1\right]$.