ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x+2⩾0$, то есть $x⩾-2$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Скобка определена всегда, поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=-2,\\ \{\begin{array}{l}{y}^2-xy+3x-4y+3=0,\\ x⩾-2.\end{array}\end{array}$$

Разложим скобку на множители. Рассмотрим её как квадратный трёхчлен относительно $y$:

$$y^2-(x+4)y+3x+3=0,D=(x+4{)}^2-4(3x+3)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2.$$

$$y=\frac{x+4\pm (x-2)}{2},y_1=x+1,y_2=3.$$

Значит, $y^2-xy+3x-4y+3=(y-3)(y-x-1)$.

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Множество $S$ решений первого уравнения — вертикальная прямая $x=-2$ и два луча при $x⩾-2$: луч $y=3$ с началом $(-2;3)$ и луч $y=x+1$ с началом $(-2;-1)$. Лучи пересекаются в точке $(2;3)$.

Второе уравнение задаёт прямую $l$: $y=-x-a$ с угловым коэффициентом $-1$. Число решений системы равно числу общих точек $l$ и $S$.

Прямая $x=-2$. Прямая $l$ пересекает её всегда ровно в одной точке $(-2;2-a)$.

Луч $y=3$. Из $-x-a=3$ получаем $x=-3-a$. Точка лежит на луче при $-3-a⩾-2$, то есть при $a⩽-1$. При $a=-1$ это начало луча $(-2;3)$, оно лежит и на прямой $x=-2$ и совпадает с точкой $(-2;2-a)$.

Луч $y=x+1$. Из $-x-a=x+1$ получаем $x=-\frac{a+1}{2}$. Точка лежит на луче при $-\frac{a+1}{2}⩾-2$, то есть при $a⩽3$. При $a=3$ это начало луча $(-2;-1)$, оно совпадает с точкой $(-2;2-a)$.

Точки на двух лучах совпадают, когда $l$ проходит через $(2;3)$: $3=-2-a$, $a=-5$.

Граничные положения: $a=-5$ (через $(2;3)$), $a=-1$ (через $(-2;3)$), $a=3$ (через $(-2;-1)$).

Разберём все значения $a$.

При $a<-1$, $a\ne -5$ прямая $l$ пересекает оба луча в точках с $x>-2$, эти точки различны, и ещё одна точка на прямой $x=-2$. Три решения.

При $a=-5$ точки на лучах совпадают: $(2;3)$. Вместе с точкой $(-2;7)$ — два решения.

При $a=-1$ точка на луче $y=3$ совпадает с точкой $(-2;3)$ на прямой $x=-2$, а на луче $y=x+1$ получаем точку $(0;1)$. Два решения.

При $-1<a<3$ луч $y=3$ общих точек с $l$ не имеет, на луче $y=x+1$ есть одна точка с $x>-2$, и ещё одна точка на прямой $x=-2$. Два решения.

При $a=3$ точка на луче $y=x+1$ совпадает с точкой $(-2;-1)$ на прямой $x=-2$. Одно решение.

При $a>3$ остаётся только точка на прямой $x=-2$. Одно решение.

Ответ: $a\in \{-5\}\cup [-1;3)$.