ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Разложим левую часть на множители:

$$xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)=0.$$

Значит, $x=1$ или $y=1$ — это вертикальная и горизонтальная прямые, пересекающиеся в точке $(1;1)$.

Первое уравнение. Уравнение $|X|+2|Y|=5$ задаёт ромб с центром $(0;0)$: в каждой четверти модули раскрываются однозначно, и получаются четыре отрезка с вершинами $(\pm 5;0)$ и $\left(0;\pm \frac{5}{2}\right)$. Диагонали ромба равны $10$ и $5$.

Подставив $X=x-a$, $Y=y-a$, получаем, что уравнение $|x-a|+2|y-a|=5$ задаёт такой же ромб, сдвинутый так, что его центр — точка $(a;a)$. Вершины ромба: $(a\pm 5;a)$ и $\left(a;a\pm \frac{5}{2}\right)$. При изменении $a$ ромб движется вдоль прямой $y=x$.

Число решений системы равно числу общих точек ромба с объединением двух прямых. Точка $(1;1)$ лежит на обеих прямых, и её нужно считать один раз.

Обозначим $d=|a-1|$ — это расстояние от центра ромба до каждой из прямых $x=1$ и $y=1$.

Прямая $x=1$. Подставим $x=1$:

$$d+2|y-a|=5\iff |y-a|=\frac{5-d}{2}.$$

Две точки при $d<5$, одна при $d=5$, ни одной при $d>5$.

Прямая $y=1$. Подставим $y=1$:

$$|x-a|+2d=5\iff |x-a|=5-2d.$$

Две точки при $d<\frac{5}{2}$, одна при $d=\frac{5}{2}$, ни одной при $d>\frac{5}{2}$.

Точка $(1;1)$ лежит на ромбе, когда $d+2d=5$, то есть $d=\frac{5}{3}$. Тогда она входит и в точки на прямой $x=1$, и в точки на прямой $y=1$.

Подсчёт.

При $d<\frac{5}{2}$, $d\ne \frac{5}{3}$: $2+2=4$ решения, совпадений нет.

При $d=\frac{5}{3}$: $2+2-1=3$ решения — одна сторона ромба проходит через точку $(1;1)$.

При $d=\frac{5}{2}$: $2+1=3$ решения — верхняя или нижняя вершина ромба лежит на прямой $y=1$; точка $(1;1)$ на ромбе не лежит, так как $d\ne \frac{5}{3}$.

При $\frac{5}{2}<d<5$ — два решения, при $d=5$ — одно, при $d>5$ — ни одного.

Итак, три решения ровно при $d=\frac{5}{3}$ и при $d=\frac{5}{2}$.

Покажем положения ромба при $a<1$. Положения при $a>1$ симметричны им относительно точки $(1;1)$: центральная симметрия с центром $(1;1)$ переводит каждую из прямых в себя, а ромб с центром $(a;a)$ — в ромб с центром $(2-a;2-a)$.

Решим уравнения на $a$:

$$|a-1|=\frac{5}{3}\iff a=1\pm \frac{5}{3}\iff a=-\frac{2}{3}\text{или}a=\frac{8}{3};$$

$$|a-1|=\frac{5}{2}\iff a=1\pm \frac{5}{2}\iff a=-1,5\text{или}a=3,5.$$

Ответ: $a\in \left\{-1,5;-\frac{2}{3};\frac{8}{3};3,5\right\}$.