ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Разложим на множители свободный от $a$ член:

$$x^4+2x^3-2x-1=\left(x^4-1\right)+2x\left(x^2-1\right)=\left(x^2-1\right)\left(x^2+2x+1\right)=(x-1)(x+1{)}^3.$$

Теперь во всех слагаемых есть множитель $x+1$, вынесем его:

$$(x+1)\left(a^2+x(x+1)a+(x-1)(x+1{)}^2\right)=0.$$

Вторую скобку рассмотрим как квадратный трёхчлен относительно $a$. Сумма его корней равна $-x(x+1)$, произведение — $(x-1)(x+1{)}^2$. Этим условиям удовлетворяют числа $-(x+1)$ и $1-x^2$: их сумма $-x-1+1-x^2=-x(x+1)$, произведение $(x+1)\left(x^2-1\right)=(x-1)(x+1{)}^2$. Значит,

$$a^2+x(x+1)a+(x-1)(x+1{)}^2=(a+x+1)\left(a+x^2-1\right).$$

Уравнение равносильно совокупности

$$(x+1)(a+x+1)\left(a+x^2-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1,\\ a=-x-1,\\ a=1-x^2.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством решений совокупности. Это вертикальная прямая $x=-1$, прямая $a=-x-1$ и парабола $a=1-x^2$ с вершиной $(0;1)$ и ветвями вниз.

Общие точки линий. При $x=-1$ и прямая, и парабола дают $a=0$, поэтому все три линии проходят через точку $(-1;0)$. Прямая и парабола: $-x-1=1-x^2$, то есть $x^2-x-2=0$, $x=-1$ или $x=2$ — вторая общая точка $(2;-3)$.

Корни на горизонтальной прямой. Прямая $x=-1$ даёт корень $x=-1$ при любом $a$. Прямая $a=-x-1$ даёт корень $x=-a-1$ при любом $a$. Парабола даёт два корня $x=\pm \sqrt{1-a}$ при $a<1$, один корень $x=0$ при $a=1$ и ни одного при $a>1$. Корни могут совпасть только в общих точках $(-1;0)$ и $(2;-3)$.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=1$ (через вершину параболы), $a=0$ (через точку $(-1;0)$, это ось абсцисс) и $a=-3$ (через точку $(2;-3)$).

Разберём положения прямой сверху вниз.

При $a>1$ парабола корней не даёт, остаются $-1$ и $-a-1<-2$ — два корня, подходит.

При $a=1$ корни $-1$, $-2$ и $0$ — три.

При $0<a<1$ корни $-1$, $-a-1\in (-2;-1)$, $\sqrt{1-a}\in (0;1)$, $-\sqrt{1-a}\in (-1;0)$ — четыре различных.

При $a=0$ корни $-1$, $-1$, $1$, $-1$ — различных два: $-1$ и $1$. Подходит.

При $-3<a<0$ общих точек линий на этой высоте нет, поэтому корни $-1$, $-a-1$, $\sqrt{1-a}$, $-\sqrt{1-a}$ различны — четыре.

При $a=-3$ корни $-1$, $2$, $2$, $-2$ — три различных.

При $a<-3$ снова четыре различных корня.

Ответ: $a\in \{0\}\cup (1;+\infty )$.