ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $y-3x+9⩾0$, то есть $y⩾3x-9$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл. Первый множитель определён всегда, поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}y⩾3x-9,\\ [\begin{array}{l}xy-3x+9=0,\\ y=3x-9.\end{array}\end{array}$$

В уравнении $xy-3x+9=0$ значение $x=0$ невозможно (получилось бы $9=0$), поэтому его можно разделить на $x$: $y=3-\frac{9}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=3$.

Прямая $y=3x-9$ удовлетворяет ОДЗ целиком. Найдём, какие точки гиперболы удовлетворяют ОДЗ:

$$3-\frac{9}{x}⩾3x-9\iff \frac{12x-3x^2-9}{x}⩾0\iff \frac{(x-1)(x-3)}{x}⩽0.$$

Итак, $x<0$ или $1⩽x⩽3$. При $x=1$ и $x=3$ гипербола пересекает прямую: точки $(1;-6)$ и $(3;0)$.

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Множество $S$ решений первого уравнения — прямая $y=3x-9$, левая ветвь гиперболы $y=3-\frac{9}{x}$ (при $x<0$) и дуга правой ветви с концами $(1;-6)$ и $(3;0)$.

Второе уравнение задаёт прямую $l$: $y=4x+a$ с угловым коэффициентом $4$. Число решений системы равно числу общих точек $l$ и $S$.

Общие точки с прямой $y=3x-9$. Из $4x+a=3x-9$ получаем $x=-9-a$ — такая точка ровно одна при любом $a$.

Общие точки с гиперболой. Подставим $y=4x+a$ и домножим на $x\ne 0$:

$$4x+a=3-\frac{9}{x}\iff 4x^2+(a-3)x+9=0.$$

Обозначим $g(x)=4x^2+(a-3)x+9$, дискриминант $D=(a-3{)}^2-144$. По теореме Виета произведение корней равно $\frac{9}{4}>0$, поэтому корни одного знака, а их сумма равна $\frac{3-a}{4}$.

Точка на прямой $y=3x-9$ может совпасть с точкой гиперболы только в концах дуги $(1;-6)$ и $(3;0)$.

Граничные положения прямой $l$.

$a=-12$: $l$ проходит через точку $(3;0)$, так как $0=12+a$.

$a=-10$: $l$ проходит через точку $(1;-6)$, так как $-6=4+a$.

Касание: $D=0$, то есть $|a-3|=12$, $a=-9$ или $a=15$. Двойной корень $x=\frac{3-a}{8}$. При $a=-9$ это $x=\frac{3}{2}\in [1;3]$ — касание дуги в точке $\left(\frac{3}{2};-3\right)$. При $a=15$ это $x=-\frac{3}{2}<0$ — касание левой ветви в точке $\left(-\frac{3}{2};9\right)$.

Разберём все значения $a$. Будем помнить, что на прямой $y=3x-9$ всегда есть ровно одна общая точка.

При $-9<a<15$ дискриминант отрицателен, общих точек с гиперболой нет. Одно решение.

При $a=15$ — точка касания $\left(-\frac{3}{2};9\right)$ и точка на прямой $y=3x-9$ с $x=-24$. Два решения.

При $a>15$ сумма корней $\frac{3-a}{4}<0$, оба корня отрицательны и лежат на левой ветви. Три решения.

При $a⩽-9$ сумма корней положительна, оба корня положительны, и подходят только корни из отрезка $[1;3]$. Найдём значения на концах отрезка:

$$g(1)=4+a-3+9=a+10,g(3)=36+3a-9+9=3a+36.$$

При $a=-9$ — точка касания $\left(\frac{3}{2};-3\right)$ и точка $(0;-9)$ на прямой. Два решения.

При $-10<a<-9$ имеем $D>0$, $g(1)>0$, $g(3)>0$, а вершина параболы $x=\frac{3-a}{8}\in \left(\frac{3}{2};\frac{13}{8}\right)$ лежит внутри отрезка $[1;3]$. Значит, оба корня лежат в $(1;3)$ — две точки дуги. Плюс точка на прямой с $x=-9-a\in (0;1)$. Три решения.

При $a=-10$ имеем $g(1)=0$, корни $x=1$ и $x=\frac{9}{4}$ (произведение $\frac{9}{4}$), оба на дуге. Точка на прямой $y=3x-9$ имеет $x=-9+10=1$ — это та же точка $(1;-6)$. Остаются $(1;-6)$ и $\left(\frac{9}{4};-1\right)$. Два решения.

При $-12<a<-10$ имеем $g(1)<0$, значит, $1$ лежит строго между корнями: $x_1<1<x_2$. Кроме того, $g(3)>0$, поэтому $3$ лежит вне промежутка между корнями, то есть $x_2<3$. Подходит один корень $x_2\in (1;3)$. Внутренние точки дуги лежат строго выше прямой $y=3x-9$, поэтому эта точка не совпадает с точкой на прямой. Два решения.

При $a=-12$ имеем $g(3)=0$: корни $x=3$ и $x=\frac{3}{4}$, подходит только $x=3$. Точка на прямой имеет $x=-9+12=3$ — та же точка $(3;0)$. Одно решение.

При $a<-12$ имеем $g(1)<0$ и $g(3)<0$, оба числа $1$ и $3$ лежат между корнями, на отрезке $[1;3]$ корней нет. Одно решение.

Ответ: $a\in (-12;-10]\cup \{-9;15\}$.