ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x-y+2⩾0$, то есть $y⩽x+2$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Первый множитель определён всегда, поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}y⩽x+2,\\ [\begin{array}{l}y=x^2-4x+2,\\ y=x+2.\end{array}\end{array}$$

Прямая $y=x+2$ удовлетворяет условию $y⩽x+2$ целиком (там равенство). Для точек параболы условие означает

$$x^2-4x+2⩽x+2\iff x^2-5x⩽0\iff 0⩽x⩽5.$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Множество $S$ решений первого уравнения — это прямая $y=x+2$ и дуга параболы $y=(x-2{)}^2-2$ (вершина $(2;-2)$) при $0⩽x⩽5$. Концы дуги $(0;2)$ и $(5;7)$ лежат на прямой.

Второе уравнение задаёт прямую $l$: $y=2x+a$ с угловым коэффициентом $2$; при увеличении $a$ она сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек $l$ и $S$.

Общие точки с прямой $y=x+2$. Из $2x+a=x+2$ получаем $x=2-a$. Угловые коэффициенты различны, поэтому такая точка $(2-a;4-a)$ есть ровно одна при любом $a$.

Общие точки с дугой. Подставим $y=2x+a$ в уравнение параболы:

$$x^2-4x+2=2x+a\iff x^2-6x+2-a=0\iff (x-3{)}^2=a+7.$$

При $a⩾-7$ корни $x=3\pm \sqrt{a+7}$; точкой множества $S$ корень является, если $0⩽x⩽5$.

Дуга имеет с прямой $y=x+2$ общие точки только в своих концах. Поэтому точка на прямой $y=x+2$ может совпасть с точкой на дуге лишь тогда, когда $l$ проходит через $(0;2)$ или $(5;7)$.

Граничные положения прямой $l$.

$a=-7$: корень $x=3$ единственный — $l$ касается параболы в точке $(3;-1)$.

$a=-3$: $l$ проходит через точку $(5;7)$, так как $7=2\cdot 5+a$.

$a=2$: $l$ проходит через точку $(0;2)$.

Разберём все значения $a$. Обозначим $s=\sqrt{a+7}$.

При $a<-7$ общих точек с дугой нет, остаётся одна точка на прямой $y=x+2$. Одно решение.

При $a=-7$ точка касания $(3;-1)$ и точка $(9;11)$ на прямой $y=x+2$. Два решения.

При $-7<a<-3$ имеем $0<s<2$, оба корня $3\pm s$ лежат в $(1;5)$ — две точки дуги. Плюс точка на прямой $y=x+2$ с $x=2-a>5$, она с ними не совпадает. Три решения.

При $a=-3$ имеем $s=2$, корни $x=1$ и $x=5$. Точка на прямой $y=x+2$: $x=2-(-3)=5$ — это та же точка $(5;7)$. Остаются $(1;-1)$ и $(5;7)$. Два решения.

При $-3<a<2$ имеем $2<s<3$: корень $3+s>5$ не подходит, корень $3-s\in (0;1)$ подходит. Точка на прямой $y=x+2$ с $x=2-a\in (0;5)$ от неё отлична: внутренние точки дуги лежат строго ниже прямой $y=x+2$. Два решения.

При $a=2$ имеем $s=3$: корень $x=0$ подходит, $x=6$ нет. Точка на прямой $y=x+2$ тоже имеет $x=0$ — это одна и та же точка $(0;2)$. Одно решение.

При $a>2$ имеем $s>3$, оба корня вне отрезка $[0;5]$. Одно решение.

Ответ: $a\in \{-7\}\cup [-3;2)$.