ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Логарифм по основанию $7$ — монотонная функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству положительных аргументов:

$$\{\begin{array}{l}36-y^2=36-a^2{x}^2,\\ 36-a^2{x}^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{y}^2=a^2{x}^2,\\ a^2{x}^2<36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=ax,\\ y=-ax,\end{array}\\ |ax|<6.\end{array}$$

Условие $36-y^2>0$ отдельно писать не нужно: из равенства аргументов оно совпадает с $36-a^2{x}^2>0$.

Подставим во второе уравнение. При $y=ax$:

$$x^2+a^2{x}^2=2x+6ax\iff x\left(\left(a^2+1\right)x-2(1+3a)\right)=0.$$

При $y=-ax$:

$$x^2+a^2{x}^2=2x-6ax\iff x\left(\left(a^2+1\right)x-2(1-3a)\right)=0.$$

Так как $a^2+1>0$, на него можно делить. Получаем три кандидата в решения:

точка $O(0;0)$ — она получается из обеих подстановок;

точка $A$ с абсциссой $x_1=\frac{2(1+3a)}{a^2+1}$ на прямой $y=ax$;

точка $B$ с абсциссой $x_2=\frac{2(1-3a)}{a^2+1}$ на прямой $y=-ax$.

Проверим условие $|ax|<6$. Для точки $O$ оно выполнено всегда: $|a\cdot 0|=0<6$.

Для точки $A$ домножим на $a^2+1>0$:

$$\left|\frac{2a+6a^2}{a^2+1}\right|<6\iff -6a^2-6<6a^2+2a<6a^2+6.$$

Левое неравенство: $12a^2+2a+6>0$, то есть $6a^2+a+3>0$. Дискриминант $1-72<0$, старший коэффициент положителен, поэтому оно верно при всех $a$. Правое неравенство: $2a<6$, то есть $a<3$. Итак, $A$ — решение системы при $a<3$.

Для точки $B$ аналогично:

$$\left|\frac{2a-6a^2}{a^2+1}\right|<6\iff -6a^2-6<2a-6a^2<6a^2+6.$$

Левое неравенство: $2a>-6$, то есть $a>-3$. Правое: $12a^2-2a+6>0$, то есть $6a^2-a+3>0$ — верно при всех $a$ (дискриминант $1-72<0$). Итак, $B$ — решение системы при $a>-3$.

Совпадения точек. Точка $A$ совпадает с $O$, когда $x_1=0$, то есть $1+3a=0$, $a=-\frac{1}{3}$. Точка $B$ совпадает с $O$, когда $x_2=0$, то есть $a=\frac{1}{3}$. Точки $A$ и $B$ совпадают, только если $x_1=x_2$, то есть $1+3a=1-3a$, $a=0$; при $a=0$ обе прямые $y=\pm ax$ совпадают с осью абсцисс, и $A=B=(2;0)$.

Подсчёт решений.

При $a⩽-3$ решения — $O$ и $A$ (точка $B$ не подходит). Они различны, так как $a\ne -\frac{1}{3}$. Два решения.

При $-3<a<3$ подходят все три точки $O$, $A$, $B$. Если $a$ не равно $-\frac{1}{3}$, $0$, $\frac{1}{3}$, они различны — три решения. При каждом из значений $-\frac{1}{3}$, $0$, $\frac{1}{3}$ совпадает ровно одна пара точек, и решений два. Например, при $a=-\frac{1}{3}$ остаются $O$ и $B$ с $x_2=\frac{2\cdot 2}{10/9}=\frac{18}{5}$.

При $a⩾3$ решения — $O$ и $B$. Они различны, так как $a\ne \frac{1}{3}$. Два решения.

Ответ: $a\in (-\infty ;-3]\cup \left\{-\frac{1}{3};0;\frac{1}{3}\right\}\cup [3;+\infty )$.