ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Знаменатель $\sqrt{-6x-x^2}$ определён и не равен нулю при

$$-6x-x^2>0\iff x(x+6)<0\iff -6<x<0.$$

Числитель равен нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a=x+4,\\ x^2+a^2=10,\end{array}\\ -6<x<0.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством решений системы. Нужно, чтобы таких точек было ровно две.

Неравенство задаёт вертикальную полосу $-6<x<0$ без границ.

Уравнение $a=x+4$ задаёт прямую. В полосе от неё остаётся отрезок с концами $(-6;-2)$ и $(0;4)$, сами концы не входят.

Уравнение $x^2+a^2=10$ задаёт окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10}<6$, все её точки с $x<0$ лежат в полосе. Остаётся левая полуокружность без точек $\left(0;\sqrt{10}\right)$ и $\left(0;-\sqrt{10}\right)$.

Общие точки прямой и окружности. Подставим $a=x+4$:

$$x^2+(x+4{)}^2=10\iff 2x^2+8x+6=0\iff (x+1)(x+3)=0.$$

Получаем точки $(-1;3)$ и $(-3;1)$, обе лежат в полосе.

Корни на горизонтальной прямой. Прямая даёт корень $x=a-4$; он лежит в полосе при $-6<a-4<0$, то есть при $-2<a<4$. Окружность даёт корни $x=\pm \sqrt{10-a^2}$ при $|a|⩽\sqrt{10}$; в полосу попадает только $x=-\sqrt{10-a^2}$, и он отрицателен при $|a|<\sqrt{10}$. Корни совпадают только в общих точках, то есть при $a=1$ и $a=3$.

Сравним границы: $-\sqrt{10}<-2$, так как $10>4$; $3<\sqrt{10}$, так как $9<10$; $\sqrt{10}<4$, так как $10<16$.

Разберём все значения $a$ снизу вверх.

При $a⩽-\sqrt{10}$ корней нет.

При $-\sqrt{10}<a⩽-2$ корень один — от полуокружности. Прямая корня не даёт: при $a=-2$ получился бы $x=-6$, а эта точка в полосу не входит.

При $-2<a<\sqrt{10}$, $a\ne 1$, $a\ne 3$ корня два: $x=a-4$ и $x=-\sqrt{10-a^2}$, они различны. Подходит.

При $a=1$ и при $a=3$ корни совпадают ($x=-3$ и $x=-1$ соответственно) — корень один.

При $\sqrt{10}⩽a<4$ корень один — от прямой. Полуокружность корня не даёт: при $a=\sqrt{10}$ получился бы $x=0$, а он в полосу не входит.

При $a⩾4$ корней нет.

Ответ: $a\in (-2;1)\cup (1;3)\cup \left(3;\sqrt{10}\right)$.