ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$.

Сделаем замену $t=x+\frac{4}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{t}^2+t+20a-10=0.(\ast )$$

Сколько корней $x$ даёт одно значение $t$. Уравнение $x+\frac{4}{x}=t$ при $x\ne 0$ равносильно $x^2-tx+4=0$ (значение $x=0$ этому уравнению не удовлетворяет, так как $4\ne 0$). Его дискриминант $D=t^2-16$. Значит:

если $|t|>4$, то корней $x$ два;

если $|t|=4$, то корень один ($x=2$ при $t=4$, $x=-2$ при $t=-4$);

если $|t|<4$, то корней нет.

Разным $t$ соответствуют разные $x$, поскольку по $x$ значение $t$ определяется однозначно. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня в одном из трёх случаев:

(I) уравнение $(\ast )$ имеет единственный корень $t_0$, и $|t_0|>4$;

(II) уравнение $(\ast )$ имеет два корня, один из которых по модулю больше $4$, а другой меньше $4$;

(III) корни уравнения $(\ast )$ — это $t=4$ и $t=-4$.

Другие сочетания дают иное число корней: два корня с $|t|>4$ — четыре корня $x$, корни с $|t|>4$ и $|t|=4$ — три, корни с $|t|=4$ и $|t|<4$ — один.

Случай $a=0$. Уравнение $(\ast )$ линейное: $t-10=0$, $t=10$. Так как $|10|>4$, получаем два корня: $x^2-10x+4=0$, $x=5\pm \sqrt{21}$. Значение $a=0$ подходит.

Далее $a\ne 0$, уравнение $(\ast )$ квадратное. Обозначим $f(t)=a{t}^2+t+20a-10$.

Случай (III). По теореме Виета сумма корней равна $-\frac{1}{a}\ne 0$, а $4+(-4)=0$. Этот случай невозможен.

Случай (I). Корень единственный, когда дискриминант равен нулю:

$$D=1-4a(20a-10)=-80a^2+40a+1=0\iff 80a^2-40a-1=0.$$

$$a=\frac{40\pm \sqrt{1600+320}}{160}=\frac{40\pm 8\sqrt{30}}{160}=\frac{5\pm \sqrt{30}}{20}.$$

Двойной корень равен $t_0=-\frac{1}{2a}=-\frac{10}{5\pm \sqrt{30}}$.

При $a=\frac{5+\sqrt{30}}{20}$ получаем $|t_0|=\frac{10}{5+\sqrt{30}}<\frac{10}{10}=1<4$, так как $\sqrt{30}>5$. Корней $x$ нет — не подходит.

При $a=\frac{5-\sqrt{30}}{20}$ получаем $t_0=\frac{10}{\sqrt{30}-5}>0$. Проверим $t_0>4$:

$$\frac{10}{\sqrt{30}-5}>4\iff 10>4\sqrt{30}-20\iff 30>4\sqrt{30}\iff 900>480.$$

Верно (мы умножили на положительное число $\sqrt{30}-5$ и возвели в квадрат положительные числа). Значение $a=\frac{5-\sqrt{30}}{20}$ подходит.

Случай (II). Один корень $f$ лежит в интервале $(-4;4)$, а другой — вне отрезка $[-4;4]$ тогда и только тогда, когда

$$f(-4)\cdot f(4)<0.$$

Действительно, если значения на концах разных знаков, то на интервале $(-4;4)$ есть корень. Второго корня там нет: если бы оба корня лежали внутри, то концы $\pm 4$ оказались бы вне промежутка между корнями, и $f(\pm 4)$ имели бы один и тот же знак. Числа $\pm 4$ корнями не являются, так как $f(\pm 4)\ne 0$. Обратно, если один корень внутри, а другой снаружи, то ровно один из концов лежит между корнями, и знаки $f(-4)$ и $f(4)$ различны.

Вычислим:

$$f(4)=16a+4+20a-10=36a-6,f(-4)=16a-4+20a-10=36a-14.$$

$$(36a-6)(36a-14)<0\iff \frac{1}{6}<a<\frac{7}{18}.$$

Проверим концы. При $a=\frac{1}{6}$ корень $t=4$, второй корень по Виета равен $\frac{20a-10}{a}:4=-40:4=-10$; корней $x$ получается $1+2=3$. При $a=\frac{7}{18}$ корень $t=-4$, второй корень $\frac{20a-10}{a}:(-4)=-\frac{40}{7}:(-4)=\frac{10}{7}$, $\left|\frac{10}{7}\right|<4$; корень $x$ один. Концы не подходят.

Объединим найденные значения. Заметим, что $\frac{5-\sqrt{30}}{20}<0$:

Ответ: $a\in \left\{\frac{5-\sqrt{30}}{20};0\right\}\cup \left(\frac{1}{6};\frac{7}{18}\right)$.