ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Модуль числа равен выражению тогда и только тогда, когда выражение неотрицательно, а само число равно ему или противоположно ему. Поэтому система равносильна такой:

$$\{\begin{array}{l}y=4x+a,\\ x^2-2x⩾0,\\ [\begin{array}{l}y=x^2-2x,\\ y=-x^2+2x.\end{array}\end{array}$$

Условие $x(x-2)⩾0$ означает $x⩽0$ или $x⩾2$.

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Обозначим через $S$ множество точек, удовлетворяющих двум последним условиям. Это части парабол

$P_1$: $y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ (ветви вверх) и $P_2$: $y=-x^2+2x=-(x-1{)}^2+1$ (ветви вниз),

лежащие в полуплоскостях $x⩽0$ и $x⩾2$. Параболы пересекаются в точках, где $x^2-2x=0$, то есть в $(0;0)$ и $(2;0)$ — это как раз концы оставленных частей.

Первое уравнение задаёт прямую $l$ с угловым коэффициентом $4$, пересекающую ось ординат в точке $(0;a)$. При увеличении $a$ прямая сдвигается вверх параллельно себе. Число решений системы равно числу общих точек $l$ и $S$.

Подставим $y=4x+a$ в уравнения парабол и выделим полные квадраты:

$$x^2-2x=4x+a\iff x^2-6x-a=0\iff (x-3{)}^2=a+9;(1)$$

$$-x^2+2x=4x+a\iff x^2+2x+a=0\iff (x+1{)}^2=1-a.(2)$$

Нужно посчитать корни уравнений $(1)$ и $(2)$, лежащие в множестве $x⩽0$ или $x⩾2$. Корни этих уравнений совпадают только в точках $x=0$ и $x=2$, где встречаются параболы.

Граничные положения прямой.

$a=-9$: уравнение $(1)$ имеет единственный корень $x=3⩾2$ — прямая касается $P_1$ в точке $(3;3)$.

$a=-8$: прямая проходит через точку $(2;0)$, так как $0=4\cdot 2+a$.

$a=0$: прямая проходит через точку $(0;0)$.

$a=1$: уравнение $(2)$ имеет единственный корень $x=-1⩽0$ — прямая касается $P_2$ в точке $(-1;-3)$.

На рисунке пунктиром показаны все четыре положения; прямые $a=0$ и $a=-8$ — это пунктирные прямые через отмеченные точки $(0;0)$ и $(2;0)$.

Разберём все значения $a$. Корни $(1)$: $x=3\pm \sqrt{a+9}$ при $a⩾-9$; корни $(2)$: $x=-1\pm \sqrt{1-a}$ при $a⩽1$.

При $a<-9$: уравнение $(1)$ корней не имеет. В $(2)$ имеем $\sqrt{1-a}>\sqrt{10}>3$, поэтому $-1+\sqrt{1-a}>2$ и $-1-\sqrt{1-a}<0$ — оба корня подходят. Два решения.

При $a=-9$: из $(1)$ корень $x=3$, из $(2)$ два корня (как выше, $\sqrt{1-a}=\sqrt{10}$). Три решения.

При $-9<a<-8$: в $(1)$ имеем $0<\sqrt{a+9}<1$, корни $3\pm \sqrt{a+9}$ лежат в $(2;4)$ — оба подходят. В $(2)$ имеем $3<\sqrt{1-a}<\sqrt{10}$, корни $-1+\sqrt{1-a}>2$ и $-1-\sqrt{1-a}<0$ — оба подходят. Четыре решения.

При $a=-8$: из $(1)$ корни $2$ и $4$, из $(2)$ корни $2$ и $-4$. Корень $x=2$ общий — три решения.

При $-8<a<0$: в $(1)$ имеем $1<\sqrt{a+9}<3$, корень $3-\sqrt{a+9}\in (0;2)$ не подходит, корень $3+\sqrt{a+9}>4$ подходит. В $(2)$ имеем $1<\sqrt{1-a}<3$, корень $-1+\sqrt{1-a}\in (0;2)$ не подходит, корень $-1-\sqrt{1-a}<-2$ подходит. Два решения.

При $a=0$: из $(1)$ корни $0$ и $6$, из $(2)$ корни $0$ и $-2$. Корень $x=0$ общий — три решения.

При $0<a<1$: в $(1)$ имеем $3<\sqrt{a+9}<\sqrt{10}$, корень $3-\sqrt{a+9}<0$ и корень $3+\sqrt{a+9}>2$ — оба подходят. В $(2)$ имеем $0<\sqrt{1-a}<1$, оба корня $-1\pm \sqrt{1-a}$ лежат в $(-2;0)$ — подходят. Совпадений нет — четыре решения.

При $a=1$: из $(1)$ два подходящих корня, из $(2)$ корень $x=-1$. Три решения.

При $a>1$: уравнение $(2)$ корней не имеет. В $(1)$ имеем $\sqrt{a+9}>\sqrt{10}>3$, корни $3-\sqrt{a+9}<0$ и $3+\sqrt{a+9}>2$ — оба подходят. Два решения.

Ответ: $a\in (-\infty ;-9)\cup (-8;0)\cup (1;+\infty )$.