ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Выражения под модулями меняют знак в точках $x=-1$ и $x=1$. Раскроем модули на трёх промежутках.

При $x⩽-1$: $|x-1|=1-x$, $|x+1|=-x-1$. Уравнение:

$$2a(1-x)-2+(1+2a)(x+1)=0\iff 2a-2ax-2+x+1+2ax+2a=0\iff x+4a-1=0.$$

При $-1⩽x⩽1$: $|x-1|=1-x$, $|x+1|=x+1$. Уравнение:

$$2a(1-x)-2-(1+2a)(x+1)=0\iff 2a-2ax-2-x-1-2ax-2a=0\iff x(4a+1)=-3.$$

При $x⩾1$: $|x-1|=x-1$, $|x+1|=x+1$. Уравнение:

$$2a(x-1)-2-(1+2a)(x+1)=0\iff 2ax-2a-2-x-1-2ax-2a=0\iff x+4a+3=0.$$

Выразим $a$ через $x$. В первом и третьем случаях это возможно сразу. Во втором заметим, что $x=0$ не удовлетворяет уравнению $x(4a+1)=-3$ ни при каком $a$, поэтому можно разделить на $x$. Получаем, что пара $(x;a)$ является решением тогда и только тогда, когда $a=\phi (x)$, где

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-x}{4},& x⩽-1,\\ -\frac{1}{4}-\frac{3}{4x},& -1⩽x<0\text{или}0<x⩽1,\\ -\frac{x+3}{4},& x⩾1.\end{array}$$

На стыках формулы дают одно и то же: при $x=-1$ обе равны $\frac{1}{2}$, при $x=1$ обе равны $-1$.

Решим задачу графически. Построим график $a=\phi (x)$ на плоскости $(x;a)$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения графика с горизонтальной прямой на высоте $a$. Нужно, чтобы таких точек было ровно две.

Изучим каждый кусок.

На луче $(-\infty ;-1]$ функция $\frac{1-x}{4}$ убывает от $+\infty$ до $\frac{1}{2}$. Каждое значение $a⩾\frac{1}{2}$ она принимает ровно один раз, в точке $x=1-4a$.

Функция $-\frac{3}{4x}$ возрастает на каждом из промежутков $x<0$ и $x>0$ (это ветви гиперболы во второй и четвёртой четвертях). На $[-1;0)$ она возрастает от $\frac{1}{2}$ до $+\infty$, на $(0;1]$ — от $-\infty$ до $-1$. Каждое из этих значений принимается один раз, в точке $x=-\frac{3}{4a+1}$.

На луче $[1;+\infty )$ функция $-\frac{x+3}{4}$ убывает от $-1$ до $-\infty$. Каждое значение $a⩽-1$ она принимает один раз, в точке $x=-4a-3$.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=\frac{1}{2}$ (через точку $(-1;\frac{1}{2})$) и $a=-1$ (через точку $(1;-1)$).

Разберём все значения $a$.

При $a>\frac{1}{2}$ прямая пересекает график дважды: на луче $x<-1$ в точке $x=1-4a$ и на промежутке $(-1;0)$ в точке $x=-\frac{3}{4a+1}$. Два решения, подходит.

При $a=\frac{1}{2}$ оба куска дают одну и ту же точку $x=-1$. Одно решение.

При $-1<a<\frac{1}{2}$ общих точек с графиком нет: левые куски принимают только значения $a⩾\frac{1}{2}$, правые — только $a⩽-1$. Решений нет.

При $a=-1$ оба правых куска дают одну точку $x=1$. Одно решение.

При $a<-1$ прямая пересекает график дважды: на промежутке $(0;1)$ в точке $x=-\frac{3}{4a+1}$ и на луче $x>1$ в точке $x=-4a-3$. Два решения, подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.