ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: $x+a>0$ и $x-a>0$, то есть $x>-a$ и $x>a$, или коротко $x>|a|$.

Замена. Пусть $t={\log }_8(x+a)-{\log }_8(x-a)$. Уравнение принимает вид

$$t^2-12at+35a^2-6a-9=0.$$

Найдём четверть дискриминанта:

$$\frac{D}{4}=36a^2-\left(35a^2-6a-9\right)=a^2+6a+9=(a+3{)}^2⩾0.$$

Значит, корни есть при любом $a$:

$$t_1=6a+(a+3)=7a+3,t_2=6a-(a+3)=5a-3.$$

Проверка по теореме Виета: $t_1+t_2=12a$, $t_1{t}_2=35a^2-21a+15a-9=35a^2-6a-9$.

На ОДЗ разность логарифмов равна логарифму частного, поэтому исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}{\log }_8\frac{x+a}{x-a}=7a+3,\\ {\log }_8\frac{x+a}{x-a}=5a-3,\end{array}x>|a|.$$

Случай $a=0$. Тогда $t={\log }_{8}x-{\log }_{8}x=0$ при всех $x>0$, и уравнение превращается в неверное равенство $-9=0$. Решений нет, $a=0$ не подходит.

Сколько корней имеет уравнение ${\log }_8\frac{x+a}{x-a}=b$ при $a\ne 0$. Обозначим $c=8^b>0$. Уравнение равносильно $\frac{x+a}{x-a}=c$, то есть

$$x+a=c(x-a)\iff (c-1)x=a(c+1).$$

Если $b=0$, то $c=1$ и получаем $0\cdot x=2a\ne 0$ — корней нет.

Если $b\ne 0$, то $c\ne 1$ и есть единственный кандидат $x=a\cdot \frac{c+1}{c-1}$. Проверим условие $x>|a|$.

При $a>0$ нужно $a\cdot \frac{c+1}{c-1}>a$. Разделим на $a>0$:

$$\frac{c+1}{c-1}>1\iff \frac{c+1}{c-1}-1>0\iff \frac{2}{c-1}>0\iff c>1\iff b>0.$$

При $a<0$ нужно $a\cdot \frac{c+1}{c-1}>-a$. Разделим на $a<0$, знак неравенства сменится:

$$\frac{c+1}{c-1}<-1\iff \frac{c+1}{c-1}+1<0\iff \frac{2c}{c-1}<0\iff c<1\iff b<0$$

(мы учли, что $c>0$).

Итак, при $a>0$ уравнение $t=b$ имеет ровно один корень, если $b>0$, и ни одного, если $b⩽0$. При $a<0$ — ровно один корень, если $b<0$, и ни одного, если $b⩾0$. Иначе говоря, корень есть тогда и только тогда, когда $b$ того же знака, что и $a$.

Разным значениям $b$ соответствуют разные $x$ (по $x$ значение $t$ определяется однозначно). Поэтому исходное уравнение имеет столько корней, сколько среди чисел $t_1$, $t_2$ различных и имеющих тот же знак, что $a$.

Заметим, что $t_1=t_2$ при $7a+3=5a-3$, то есть при $a=-3$.

Случай $a>0$. Число $t_1=7a+3>0$ всегда, оно даёт один корень. Число $t_2=5a-3>0$ при $a>\frac{3}{5}$. Совпасть $t_1$ и $t_2$ при $a>0$ не могут. Значит, два корня ровно при $a>\frac{3}{5}$; при $0<a⩽\frac{3}{5}$ корень один.

Случай $a<0$. Число $t_2=5a-3<0$ всегда, оно даёт один корень. Число $t_1=7a+3<0$ при $a<-\frac{3}{7}$. При $a=-3$ корни совпадают ($t_1=t_2=-18$), и корень один. Значит, два корня при $a<-\frac{3}{7}$, $a\ne -3$.

Объединим:

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup \left(-3;-\frac{3}{7}\right)\cup \left(\frac{3}{5};+\infty \right)$.