ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Модули двух чисел равны тогда и только тогда, когда числа равны или противоположны. Поэтому система равносильна такой:

$$\{\begin{array}{l}y=-x+a,\\ [\begin{array}{l}y=x^2-4x,\\ y=-x^2+4x.\end{array}\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Обозначим через $S$ множество точек, удовлетворяющих совокупности. Это объединение двух парабол:

$P_1$: $y=x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ — вершина $(2;-4)$, ветви вверх;

$P_2$: $y=-x^2+4x=-(x-2{)}^2+4$ — вершина $(2;4)$, ветви вниз.

Параболы пересекаются, когда $x^2-4x=-x^2+4x$, то есть $2x(x-4)=0$: в точках $(0;0)$ и $(4;0)$.

Первое уравнение задаёт прямую $l$ с угловым коэффициентом $-1$, которая пересекает ось ординат в точке $(0;a)$. При увеличении $a$ прямая сдвигается вверх параллельно себе. Число решений системы равно числу общих точек прямой $l$ с множеством $S$.

Точка прямой $l$ однозначно определяется своей абсциссой, поэтому число решений равно числу различных $x$, удовлетворяющих хотя бы одному из уравнений

$$x^2-4x=-x+a\iff x^2-3x-a=0,D_1=9+4a;$$

$$-x^2+4x=-x+a\iff x^2-5x+a=0,D_2=25-4a.$$

Корни этих уравнений совпадают, только если прямая проходит через общую точку парабол $(0;0)$ или $(4;0)$, то есть при $a=0$ или $a=4$.

Граничные положения прямой.

Касание с $P_1$: первое уравнение имеет один корень, $D_1=0$, $a=-\frac{9}{4}$. Точка касания: $x=\frac{3}{2}$, $y=-\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=-\frac{15}{4}$.

Касание с $P_2$: $D_2=0$, $a=\frac{25}{4}$. Точка касания: $x=\frac{5}{2}$, $y=-\frac{5}{2}+\frac{25}{4}=\frac{15}{4}$.

Разберём все значения $a$.

При $a<-\frac{9}{4}$: $D_1<0$ — с параболой $P_1$ общих точек нет; $D_2>0$ (так как $a<\frac{25}{4}$) — с $P_2$ две точки. Всего два решения.

При $a=-\frac{9}{4}$: одна точка касания с $P_1$ и две точки с $P_2$ ($D_2>0$); совпадений нет, так как $a\ne 0$ и $a\ne 4$. Три решения.

При $-\frac{9}{4}<a<\frac{25}{4}$: $D_1>0$ и $D_2>0$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. Если $a\ne 0$ и $a\ne 4$, это четыре различные точки. При $a=0$ и $a=4$ одна из точек общая для двух парабол, и решений три. Двух решений на этом промежутке нет.

При $a=\frac{25}{4}$: одна точка касания с $P_2$ и две точки с $P_1$ ($D_1=34>0$). Три решения.

При $a>\frac{25}{4}$: $D_2<0$ — с $P_2$ общих точек нет; $D_1>0$ — с $P_1$ две точки. Всего два решения.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{9}{4}\right)\cup \left(\frac{25}{4};+\infty \right)$.