ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Знаменатель ${\cos }^{2}x+a^2+3⩾3>0$ при всех $x$ и $a$. Домножим неравенство на него — знак неравенства сохранится, и переход равносилен:

$$10-a-\left(a^2-3a+2\right)\sin x<{\cos }^{2}x+a^2+3.$$

Заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ и перенесём всё в левую часть:

$$10-a-\left(a^2-3a+2\right)\sin x-1+{\sin }^{2}x-a^2-3<0;$$

$${\sin }^{2}x-\left(a^2-3a+2\right)\sin x-a^2-a+6<0.$$

Обозначим $s=\sin x$. Когда $x$ пробегает отрезок $\left[0;\frac{3\pi }{4}\right]$, синус на $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ возрастает от $0$ до $1$, а на $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{4}\right]$ убывает от $1$ до $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значит, $s$ принимает все значения из отрезка $[0;1]$ и только их.

Поэтому отрезок $\left[0;\frac{3\pi }{4}\right]$ содержится в множестве решений тогда и только тогда, когда функция

$$g(s)=s^2-\left(a^2-3a+2\right)s-a^2-a+6$$

отрицательна при всех $s\in [0;1]$.

График $g$ — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $s^2$ равен $1>0$). Если $g(0)<0$ и $g(1)<0$, то точки $0$ и $1$ лежат строго между корнями трёхчлена, а вместе с ними и весь отрезок $[0;1]$ — там $g<0$. Обратно, если $g<0$ на всём отрезке, то и на его концах. Значит, условие равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}g(0)<0,\\ g(1)<0.\end{array}$$

Первое неравенство. $g(0)=-a^2-a+6<0$, то есть $a^2+a-6>0$, $(a+3)(a-2)>0$:

Второе неравенство. $g(1)=1-\left(a^2-3a+2\right)-a^2-a+6=-2a^2+2a+5<0$, то есть $2a^2-2a-5>0$. Корни трёхчлена:

$$a=\frac{2\pm \sqrt{4+40}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{11}}{2}.$$

Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями:

Пересечение. Сравним границы. Так как $3<\sqrt{11}<4$, получаем $\frac{1-\sqrt{11}}{2}\in \left(-\frac{3}{2};-1\right)$, то есть $\frac{1-\sqrt{11}}{2}>-3$, и $\frac{1+\sqrt{11}}{2}\in \left(2;\frac{5}{2}\right)$, то есть $\frac{1+\sqrt{11}}{2}>2$. Значит, на числовой оси точки идут в порядке $-3<\frac{1-\sqrt{11}}{2}<2<\frac{1+\sqrt{11}}{2}$, и оба неравенства выполнены при

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup \left(\frac{1+\sqrt{11}}{2};+\infty \right)$.